Gruppefart

Gruppefarten til en bølge er farten som endringene av amplituden eller bølgekammen forplanter seg med. Disse endringene blir også kalt for bølgens «modulasjon» eller farten til en bølgepakke. Gruppefarten blir definert av ligningen:

$v_{g}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}$

der ω er bølgens vinkelfrekvens og k er bølgetallet.

Man tenker ofte på gruppefarten som farten energien eller informasjonen i bølgen forplanter seg med i en bølge. Hvis bølgen derimot flytter seg gjennom et absorberende medium, gjelder ikke alltid dette. F.eks. kan man sette opp eksperimenter der gruppefarten til blinkende laserlys sendt gjennom et spesielt stoff bryter lysfarten i vakuum. Det er derimot ikke mulig å overføre informasjon raskere enn lyset, så i slike tilfeller vil ikke farten til signalet og gruppefarten være lik. Det er også mulig å redusere gruppefarten til null og stoppe blinkingen, eller å ha negativ gruppefart, slik at blinkingen ser ut til å forplante seg bakover.

Funksjonen ω(k) blir kalt for bølgens dispersjonsrelasjon. Hvis ω er direkte proporsjonal med k, så er gruppefarten eksakt lik fasefarten. Ellers vil bølgemodulasjonen blir vrengt når den forplanter seg. Dispersjon av gruppefart er en viktig effekt i forplantningen av signaler gjennom optisk fiber.

Ideen om at gruppefarten til en bølge kunne være forskjellig fra fasefarten, ble først lagt frem av William Rowan Hamilton i 1839, og ble først fullt utredet av Lord Rayleigh i hans «Theory of Sound» i 1877.

Gruppefart i kvantemekanikk

Albert Einstein forklarte i 1905 at lys hadde egenskaper til både partikler og bølger. Louis de Broglie satte frem en hypotese om at alle partikler kan ha disse egenskapene, og at farten til en partikkel alltid vil være lik gruppefarten til den samsvarende bølgen. Siden sammenhengen mellom energi og bevegelsesmengde for lys var kjent, så postulerte de Broglie at en partikkel med energi E kan tilskrives en vinkelfrekvens ω = E/ħ og et bølgetall k = p/ħ når den har bevegelsesmengden p. Her er ħ den reduserte Planck-konstanten. Dette betyr at gruppefarten for en partikkel er gitt som

$v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial E}{\partial p}}$

Når den beveger seg med en hastighet v som er mye mindre enn lyshastigheten c, er energien E = p²/2m hvis den har en masse m slik at bevegelsesmengden p = mv. Kvantemekanisk er den derfor beskrevet ved en bølge med gruppehastigheten v_g = p/m. Denne er derfor lik med dens mekaniske hastighet v.

Det gjelder også mer generelt i den spesielle relativitetsteorien. Da blir

${\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\right)={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}\\&={p \over E/c^{2}}={\gamma mv \over \gamma m}=v\end{aligned}}$

der γ er Lorentz-faktoren.

Eksperiment har med stor nøyaktighet vist at denne hypotesen gjelder, og har blitt verifisert for partikler så store som molekyler.

Kilder

• Brillouin, Léon. Wave Propagation and Group Velocity. Academic Press Inc., New York (1960).
• Tipler, Paul A. and Ralph A. Llewellyn (2003). Modern Physics. 4th ed. New York; W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0. 223 p.