Gruppefart

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Gruppefarten til en bølge er farten som endringene av bølgeamplituden forplanter seg med. Disse endringene blir også kalt for bølgens modulasjon eller envelope. Gruppefarten blir definert av ligningen:

v_g \ \equiv\  \frac{\partial \omega}{\partial k}

der:

vg er gruppefarten
ω er bølgens vinkelfrekvens
k er bølgetallet

Man tenker ofte på gruppefarten som farten energien eller informasjonen i bølgen forplanter seg med i en bølge. Hvis bølgen derimot flytter seg gjennom et absorberende medium, gjelder ikke alltid dette. F.eks. kan man sette opp eksperimenter der gruppefarten til blinkende laserlys sendt gjennom et spesielt stoff bryter lysfarten i vakuum. Det er derimot ikke mulig å overføre informasjon raskere enn lyset, så i slike tilfeller vil ikke farten til signalet og gruppefarten være lik. Det er også mulig å redusere gruppefarten til null og stoppe blinkingen, eller å ha negativ gruppefart, slik at blinkingen ser ut til å forplante seg bakover.

Funksjonen ω(k), som gir ω som en funksjon av k, blir kalt for dispersjonsforholdet. Hvis ω er direkte proporsjonal med k, så er gruppefarten eksakt lik fasefarten. Ellers vil bølgemodulasjonen blir vrengt når den forplanter seg. Dispersjon av gruppefart er en viktig effekt i forplantningen av signaler gjennom optisk fiber.

Ideen om at gruppefarten til en bølge kunne være forskjellig fra fasefarten, ble først lagt frem av William Rowan Hamilton i 1839, og ble først fullt utredet av John Strutt Rayleigh i hans «Theory of Sound» i 1877.

Gruppefart i kvantemekanikk[rediger | rediger kilde]

Albert Einstein forklarte i 1905 at lys hadde egenskaper til både partikler og bølger. Louis de Broglie satte frem en hypotese om at alle partikler kan ha disse egenskapene, og at farten til en partikkel alltid vil være lik gruppefarten til den samsvarende bølgen. De Broglie utledet at, siden dualitetsligningene for lys allerede var kjent, så ville disse også gjelde for alle partikler. Dette betyr at

v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (p/\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial p}

der

E er totalenergien til partikkelen
p er bevegelsesmengde,
\hbar er Dirac-konstanten.

Ved å bruke den spesielle relativitesteorien har vi

\begin{align}
  v_g &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m_0^2c^4} \right)\\
    &= \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m_0^2 c^4}}\\
    &= \frac{\gamma m_0vc^2}{\sqrt{{\gamma}^2m_0^2v^2c^2+m_0^2c^4}}
    = \frac{\gamma vc}{\sqrt{{\gamma}^2v^2+c^2}}\\
    &= \frac{vc}{\sqrt{v^2+ \left( c / \gamma \right)^2}}
    = \frac{vc}{\sqrt{v^2 + \left( \sqrt{c^2 - v^2} \right)^2}}\\
    &= v.
\end{align}

der

m_0 er hvilemasse,
c er lysfarten i vakuum
\gamma er Lorentz-faktoren.
og v er farten til en partikkel, selv om den ikke skulle oppføre seg som en bølge.

Kvantemekanikk har med stor nøyaktighet vist at denne hypotesen gjelder, og forholdet har blitt vist for partikler så store som molekyler.

Kilder[rediger | rediger kilde]

  • Brillouin, Léon. Wave Propagation and Group Velocity. Academic Press Inc., New York (1960).
  • Tipler, Paul A. and Ralph A. Llewellyn (2003). Modern Physics. 4th ed. New York; W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0. 223 p.