Cavendish-eksperimentet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Det som senere er kjent som Cavendish eksperimentet er en forsøksserie gjennomført i 1797–98 av den britiske vitenskapsmannen Henry Cavendish. Formålet med eksperimentet var å finne en nøyaktig verdi for Jordens tetthet, noe som også kan benyttes for å bestemme tettheten til andre himmellegemer som månen, solen og planetene.

Eksperimentet burde egentlig hett Michell-Cavendish eksperimentet etter John Michell som hadde de grunnleggende ideene til apparaturen som ble brukt og Cavendish som gjennomførte målingene. Dette er det første kjente eksperimentet for å måle gravitasjonskrefter mellom masser i et laboratorium.[1] Cavendish var den første som gjennomførte målinger som kunne bestemme nøyaktige verdier for gravitasjonskonstanten G og Jordens samlede masse.[2] [3] Dette er imidlertid ikke helt korrekt. Cavendish fremla ikke slike tall, men de kan enkelt regnes ut fra hans resultater. Hans målsetting var å finne en verdi for Jorden gjennomsnittlige tetthet.[4] Prinsippene for eksperimentet var beskrevet noe før 1783[5] av geologen John Michell,[6] som konstruerte en torsjonsvekt som kunne anvendes i eksperimentet. Michell døde imidlertid i 1793 uten å ha fullført arbeidet og ved hans død ble apparaturen overført først til Francis John Hyde Wollaston og senere til Henry Cavendish. Cavendish reparerte og moderniserte apparatet, men holdt seg i det alt vesentlige til Mitchells opprinnelige grunnkonstruksjon. Deretter gjennomførte Cavendish en rekke målinger med utstyret og publiserte i 1798 sine resultater i Philosophical Transactions of the Royal Society. Av tittelen på hans artikkel: Experiments to determine the Density of the Earth fremgår at det var Jordens tettheten som var hans fokus, ikke måling av Gravitasjonskonstanten.[7]

Eksperimentet[rediger | rediger kilde]

Det apparatet som Cavendish konstruerte er en torsjonsvekt. Den består av en 1.8 m lang trestav. Denne er opphengt i en streng med en 51 mm diameter 0,73 kg blykule i hver ende. To 300 mm 158 kg store blykuler ble plassert ca. 230 mm unna, opphengt i et eget system.[8] Apparatet måler den svake gravitasjonskraften som oppstår mellom de små og de store kulene.

Et vertikalsnitt gjennom den torsjonsvekten Cavendish konstruerte. Legg merke til at det hele er bygget inn i en kasse for å minske påvirkningen fra luftstrømmer i rommet. Det er endog en indre kasse rundt staven med de små kulene. De store kulene er hengt opp separat og slik at de kunne dreies i posisjon nær de små kulene med et snortrekk fra utsiden. Figur 1 i Cavendish' rapport.
Detalj som viser torsjonsvektens arm m, en av de store blykulene (W), en liten kule (x), og et beskyttende deksel for å redusere luftforstyrrelser: (ABCDE). Legg merke til at trestaven er så spinkel at det er en ekstra streng fra g for å støtte opp trestaven.

De to store kulene ble plassert på passe avstand fra staven i torsjonsvekten. Tiltrekningskraften mellom de store og de små kulene fører til at staven dreies og derved vrir opphengsstrengen. Ytterligere dreiing opphører når torsjonskreftene i strengen oppveier tiltrekningskreftene mellom de små og de store kulene. De store kulene ble vekselvis svingt inn mot de små kulene fra motsatt side. Dette for å nøytralisere eventuelle forskjeller i torsjonsstivheten i strengen for vridning mot høyre og venstre. Når en kjenner dreiemomnetet i strengen for en gitt vinkel kunne Cavendish beregne tiltrekningskreftene mellom de to par med masser. Siden Jordens tiltrekning på de små kulene kunne måles direkte ved å veie dem, kunne han regne ut Jordens tetthet ved å benytte Newtons tredje lov om universell gravitasjon. Cavendish fant at Jordens tetthet var 5.448 ± 0.033 ganger tettheten til vann. (Egentlig skrev Cavendish 5.48 ± 0.038 i sin rapport grunnet en banal regnefeil som ble oppdaget i 1821 av F.Baily).[9]

For å finne strengens torsjonskoeffisient, momentet som strengen yder mot en gitt vinkel av dreieng målte Cavendish resonansperioden for staven med de små kulene mens den svingte frem og tilbake. Svingetiden var ca. 7 minutter. Perioden er gitt av torsjonskoeffisienten og stavens treghetsmoment. Når perioden er kjent og treghetsmomentet kan regnes ut fra kulenes avstand og vekt, kan torsjonskoefisienten beregnes. I realiteten var det nær umulig å holde torsjonsvekten i ro, den vil hele tiden svinge frem og tilbake rundt den avstandsverdi en søker.[10]

Cavendish' utstyr var usedvanlig følsomt og nøyaktig for sin tid.[9] Den kraften som er involvert ved vridningen av torsjonsvektens streng er meget liten, bare 1.47 x 10–7 N,[11] eller 1/50 000 000 av vekten til de små blykulene.[12] Dette tilsvarer omtrent vekten av et litt stort sandkorn.[13] For å redusere påvirkningen av temperatur og luftbevegelser plasserte han helle apparatuern i en trekasse, ca. 0,60 m dyp, 3 m bred og 3 m høy plassert i et skur på eienedommen. Gjennom to hull i ytterveggene i skuret brukte han kikkert for å lese av bevegelsen i torsjonsvektens stav. Bevegelsen var i størrelsesorden 4,1 mm.[14] Cavendish var i stand til å måle denne lille dreiningen med en nøyaktighet bedre enn 1/100 tomme ved å bruke en noniusskala på enden av staven.[15] Cavendish' eksperiment ble gjentatt av Reich (1838), Baily (1843), Cornus & Baille (1878) og mange flere. Ingen oppnådde større nøyaktighet før Charles Vernon Boys 97 år senere i 1895. Mitchels opprinnelig idé og Cavenish' realisering av en torsjonspendel ble den dominerende metode for å måle gravitasjonskonstanten(G) og de fleste målinger, også i vår tid, er fortsatt basert på varianter av denne. Dette er bakgrunnen for at Cavendish sitt eksperiment er blitt så skjellsettende.[16]

Cavendish beregnet aldri noen verdi for G[rediger | rediger kilde]

Det er ikke uvanlig å finne bøker som hevder at formålet med Cavendish' eksperiment var å finne verdien på gravitationskonstanten (G).[17] [18] [19] [20] [21] At dette er en feiltagelsen er påpekt av en rekke forfattere.[22] [23] [24] [25] Cavendish eneste mål var å måle Jordens tetthet. Han omtalte dette som: weighing the world (veie verden). Den metoden som Cavendish anvendte for å beregne Jordens tetthet består i å sammenligne den tiltrekning en stor blykule med kjent masse, har på en liten blykule for deretter å sammenligne Jorden tiltrekning av den lille blykulen. Dette kan gjennomføres uten å ha noen numerisk verdi for G.[23] Gravitasjonskonstanten inngår ikke i Cavendish' rapport og det er ingen indikasjon på at han anså dette som noe mål for sine undersøkelser. En av de første referanser en finner til G er i 1873, 75 år etter Cavendish' sine målinger.[26]

På Cavendish' tid var ikke G som begrep erkjent som i dag, G var ansett som en porsjonalitetskonstant i Newton's lov om generell gravitasjon.[27] Formålet med målingene av gravitasjonskrefter var utelukkende for å kunne bestemme Jordens tetthet. Dette var en meget etterlengtet verdi for datidens astronomer idet en ut fra kjennskap til Jordens tetthet kunne beregne tettheten av månen, solen og de øvrige planetene.[28] Det var utført tidligere forsøk på å måle Jordens tetthet, blant annet i Schiehallion-eksperimentet i 1774 av Royal Society.

En ytterligere komplikasjon er det faktum at vitenskapsmenn på midten av 1900-tallet ikke brukte noen spesiell enhet for kraft.[23] Dette førte til en sammenkobling av begrepet G og Jordens masse og uten at en hadde en klar formening om G som en universell konstant. Cavendish beregnet derfor heller ingen verdi for G. En mulighet for en slik utrengning ligger imidlertid i hans resultater og på slutten av 1800-tallet, da en begynte å erkjenne G som en fundamental konstant, ble G kalkulert med stor nøyaktighet fra Cavenish' resultater, gitt ved:[29]

G = g\frac{R_\text{earth}^2}{M_\text{earth}} = \frac{3g}{4\pi R_\text{earth}\rho_\text{earth}}\,

Dersom en konverterer Cavendish' sine verdier til SI enheter, Blir hans verdi for Jordens tetthet: 5.448 g cm−3 som gir: G = 6.74 × 10−11 m³ kg−1 s−2. Denne verdi avviker mindre enn 1% fra det som i dag er den aksepterte verdi: 6.67259 × 10−11 m³ kg−1 s−2.

Utregning av G og Jordens samlede masse[rediger | rediger kilde]

For begrepsforklaring, se prinsippskissen nedenfor og oversikt i slutten av dette avsnittet.

Denne oppskriften er ikke metoden Cavendish selv brukte, men viser hvordan moderne fysikere ville anvendt hans resultater.[30][31] [32] Fra Hookes lov er momentet om opphengsstengen i torsjonsvekten proporsjonal med utsvinget \theta av vekten. Momentet kan uttrykkes som \kappa\theta hvor \kappa er torsjonskoeffisienten. Momentet kan imidlertid også uttrykkes ved produktet av tiltrekningskraften og avstanden til opphengsstrengen. Siden det er to små kuler som hver tiltrekkes av en kraft F med en avstand på L / 2 fra vektens rotasjonsakse, blir det samlede moment LF

Sammenstiller en de to uttrykkene for moment får en:

\kappa\theta\ = LF \,

For F kan en ved å bruke Newtons gravitasjonslov innsette for tiltrekningen mellom de store og de små massene:

Prinsippskisse av en torsjonsvekt
F = \frac{G m M}{r^2}\,

Substituerer vi F inn i den første ligningen ovenfor får en

\kappa\theta\ = L\frac{GmM}{r^2} \qquad\qquad\qquad(1)\,

For å finne torsjonskoeffisienten (\kappa\,) til opphengsstrengen, målte Cavendish resonansfrekvensen til torsjonsvekta. Periodetiden T kan uttrykkes som:

T = 2\pi\sqrt{I/\kappa}

Dersom en antar at massen til trestaven mellom de små blykulene er negslisjerbar, er treghetsmomentet for torsjonssystemet bestemt kun av de to små kulene:

I = m(L/2)^2 + m(L/2)^2 = 2m(L/2)^2 = mL^2/2\,,

som gir:

T = 2\pi\sqrt{\frac{mL^2}{2\kappa}}\,

Løser vi denne mhp \kappa, substituerer inn i (1), og reorganiserer mhp G, får vi:

G = \frac{2 \pi^2 L r^2}{M T^2} \theta\,

Når G er bestemt, kan tiltrekningen av et objekt på Jordens overflate mot Jorden brukes til regne ut Jordens masse og tetthet:

mg = \frac{GmM_{earth}}{R_{earth}^2}\,
M_{earth} = \frac{gR_{earth}^2}{G}\,
\rho_{earth} = \frac{M_{earth}}{4 \pi R_{earth}^3/3} = \frac{3g}{4 \pi R_{earth} G}\,
Begrepsforklaring:
\theta\, \mbox{radians}\, Torsjonsvektens utsving fra hvilestilling for et gitt moment.
F\, \mbox{N}\, Gravitasjonskraft (tiltrekning) mellom massene m og M
G\, \mbox{m}^3 {\mbox{kg}}^{-1} \mbox{s}^{-2}\, Gravitasjonskonstanten
m\, \mbox{kg}\, Massen til de små blykulene
M\, \mbox{kg}\, Massen til de store blykulene
r\, \mbox{m}\, Avstanden mellom (masse)senter av de små og de store blykulene når avstanden er liten nok til at en får utslag på torsjonsvekten.
L\, \mbox{m}\, Lengden mellom senterne av de små blykulene på torsjonsvekten
\kappa\, \mbox{N}\,\mbox{m}\,\mbox{radian}^{-1}\, Torsjonskoefisienten av opphengsstrengen
I\, \mbox{kg}\,\mbox{m}^2\, Treghetsmomentet for staven med de små kulene
T\, \mbox{s}\, Svingetiden for torsjonsvektens oscillasjon
g\, \mbox{m}\,\mbox{s}^{-2}\, Tyngdeakselerasjonen eller Jordens tiltrekning (N/kg) på Jordens overflate
M_{earth}\, \mbox{kg}\, Jordens masse
R_{earth}\, \mbox{m}\, Jordens radius
\rho_{earth}\, \mbox{kg}\,\mbox{m}^{-3}\, Jordens tetthet

Se også[rediger | rediger kilde]

Noter[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Boys 1894 p.355
  2. ^ Encyclopaedia Britannica 1910 p.385 'The aim [of experiments like Cavendish's] may be regarded either as the determination of the mass of the Earth,...conveniently expressed...as its "mean density", or as the determination of the "gravitation constant", G'. Cavendish's experiment is generally described today as a measurement of G (Clotfelter 1987 p.210).
  3. ^ Mange kilder hevder at dette var den første måling av G eller av Jorden masse. Feynman, Richard P. (1963) ([død lenke]Scholar search), Lectures on Physics, Vol.1, Addison-Wesley, ss. 6–7, ISBN 0201021161, http://books.google.com/books?id=k6MQrphL-NIC&pg=PA28 . Det var gjennomført tidligere målinger, i hovedsak av Bouguer (1740) og Maskelyne (1774), men resutlatene var lite nøyaktige. (Poynting 1894)(Encyclopedia Britannica 1910).
  4. ^ Clotfelter 1987, p.210
  5. ^ McCormmach & Jungnickel 1996, p.336: A 1783 letter from Cavendish to Michell contains '...the earliest mention of weighing the world'. Not clear whether 'earliest mention' refers to Cavendish or Michell.
  6. ^ Cavendish 1798, p.59 Cavendish gives full credit to Michell for devising the experiment
  7. ^ Cavendish, H. 'Experiments to determine the Density of the Earth', Philosophical Transactions of the Royal Society of London, (part II) 88 p.469-526 (21 June 1798), reprinted in Cavendish 1798
  8. ^ Cavendish 1798, p.59
  9. ^ a b Poynting 1894, p.45
  10. ^ Cavendish 1798, p.64
  11. ^ Boys 1894 p.357
  12. ^ Cavendish 1798 p. 60
  13. ^ Et 2 mm sandkorn veier i størrelsorden ~13 mg. Theodoris, Marina (2003). Mass of a Grain of Sand. The Physics Factbook.
  14. ^ Cavendish 1798, p. 99, Result table, (scale graduations = 1/20 in ≈ 1.3 mm) The total deflection shown in most trials was twice this since he compared the deflection with large balls on opposite sides of the balance beam.
  15. ^ Cavendish 1798, p.63
  16. ^ McCormmach & Jungnickel 1996, p.341
  17. ^ Halliday, David; Resnick, Robert (1993), Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, ss. 418, ISBN 0471147311, http://books.google.com/books?id=-AjnmJHPiKMC&pg=PA418  'The apparatus used in 1798 by Henry Cavendish to measure the gravitational constant'
  18. ^ Feynman, Richard P. (1963) ([død lenke]Scholar search), Lectures on Physics, Vol.1, Addison-Wesley, ss. 6–7, ISBN 0201021161, http://books.google.com/books?id=k6MQrphL-NIC&pg=PA28  'Cavendish claimed he was weighing the Earth, but what he was measuring was the coefficient G...'
  19. ^ Feynman, Richard P. (1967) ([død lenke]Scholar search), The Character of Physical Law, MIT Press, ss. 28, ISBN 0262560038, http://books.google.com/books?id=k6MQrphL-NIC&pg=PA28  'Cavendish was able to measure the force, the two masses, and the distance, and thus determine the gravitational constant G'
  20. ^ Cavendish Experiment, Harvard Lecture Demonstrations, Harvard Univ, http://www.fas.harvard.edu/~scdiroff/lds/NewtonianMechanics/CavendishExperiment/CavendishExperiment.html, besøkt 2007-08-26 . '[the torsion balance was]...modified by Cavendish to measure G.'
  21. ^ Shectman, Jonathan (2003), Groundbreaking Experiments, Inventions, and Discoveries of the 18th Century, Greenwood, ss. xlvii, ISBN 0313320152, http://books.google.com/books?id=SsbChdIiflsC&pg=PAxlvii  'Cavendish calculates the gravitational constant, which in turn gives him the mass of the earth...'
  22. ^ Clotfelter 1987
  23. ^ a b c McCormmach & Jungnickel 1996, p.337
  24. ^ Hodges 1999
  25. ^ Lally 1999
  26. ^ Cornu, A. and Baille, J. B. (1873), Mutual determination of the constant of attraction and the mean density of the earth, C. R. Acad. Sci., Paris Vol. 76, 954-958.
  27. ^ Boys 1894, p.330 In this lecture before the Royal Society, Boys introduces G and argues for its acceptance
  28. ^ Poynting 1894, p.4
  29. ^ MacKenzie 1900, p.vi
  30. ^ Cavendish Experiment, Harvard Lecture Demonstrations, Harvard Univ.
  31. ^ Poynting 1894, p.41
  32. ^ Clotfelter 1987 s.212 forklarer Cavendish' opprinnelige beregningsmetode.

Referanser[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]