Tangenssetningen

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Figur 1 – En trekant
Trigonometri

Historie

Anvendelser

Hypotenus

Funksjoner

Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter

Eksakte konstanter

Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen

Cosinussetningen

Tangenssetningen

Pythagoras' læresetning

Kalkulus

Integraler av funksjoner

Deriverte av funksjoner

Integraler av inverse funksjoner

I trigonometrien er tangenssetningen[1] en setning om forbindelsen mellom tangens til to vinkler av en trekant og lengdene av de motstående sidene.

I figur 1 er a, b og c lengdene av tre sider av av trekanten, og α, β og γ er henholdsvis vinklene motstående disse sidene. Tangenssetningen sier at

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

Tangenssetningen er, selv om den ikke er så vidt kjent som sinussetningen eller cosinussetningen, like nyttig, og kan brukes i alle tilfeller der to sider og en vinkel, eller to vinkler og en side, er kjent.

Tangenssetningen for sfæriske trekanter ble beskrevet i det 13. århundre av den persiske matematikeren Nasir al-Din al-Tusi (1201–74), som også presenterte sinussetningen for trekanter i planet i sitt fembinds verk Treatise on the Quadrilateral.[2][3]

Bevis[rediger | rediger kilde]

For å bevise tangenssetningen kan vi starte med sinussetningen:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.

La

d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},

slik at

a = d \sin\alpha \text{ and }b = d \sin\beta. \,

Det følger at

\frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.

Ved å bruke trigonometriske identiteter, er faktorformelen for sinus

 \sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right), \;

vi får

\frac{a-b}{a+b} =  \frac{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)}{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta \right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

Som et alternativ til å bruke identiteten for summen og differansen av to sinusverdier, kan man sitere den trigonometriske identiteten

 \tan\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha \pm \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}

(se formelen for tangens av halve vinkelen).

Se også[rediger | rediger kilde]

Fotnoter[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Se Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.
  2. ^ Marie-Thérèse Debarnot (1996). «Trigonometry». I: Rushdī Rāshid, Régis Morelon. Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2. Routledge. s. 182. ISBN 0415124115. http://books.google.com/books?id=cPGRYLlwbrEC&pg=PA182. 
  3. ^ Q. Mushtaq, JL Berggren (2002). «Trigonometry». I: C. E. Bosworth, M.S.Asimov. History of Civilizations of Central Asia, Volume 4, Part 2. Motilal Banarsidass Publ.. s. 190. ISBN 8120815963. http://books.google.com/books?id=ELrRr0L8UOsC&pg=PA190.