Stokastisk differensialligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

En stokastisk differensialligning er en differensialligning hvor minst ett av leddene er en stokastisk prosess noe som ofte betraktes som "støy". Dette resulterer i at den stokastiske differensialligningen selv er en stokastisk prosess.

Stokastiske differensialligninger er formulert via sine stokastiske integraler siden den vanligste "støyen" er den Brownske bevegelsen. Denne stokastiske prosessen er ikke-derivebar nesten overalt og differensialet lar seg dermed ikke formulere på noen meningsfull måte. Andre stokastiske prosesser kan også benyttes for å representere støy, blant annet Levy-prosesser eller generelle semimartingaler.

Teorien rundt stokastiske differensialligninger ble utviklet på midten av 1900-tallet og senere blant annet av Kiyoshi Itō, som formulerte Itôs Lemma som er tilsvarende til analysens fundamentalteorem.

Anvendelser[rediger | rediger kilde]

Stokastiske differensialligninger blir mye brukt i blant annet matematisk finans. Fisher Black og Myron Scholes publiserte en artikkel i 1973 hvor de tok utgangspunkt i at aksjers dynamikk kunne beskrives ved den stokastiske differensialligningen

,

hvor og er en standard Brownsk bevegelse. Dette har siden blitt omtalt som Black-Scholes-modellen.