Stokastisk prosess

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

En stokastisk prosess er et matematisk objekt som anvendes for å beskrive tilfeldige (stokastiske) forandringer.

En reell stokastisk prosess er en samling av stokastiske variabler som er definert i samme sannsynlighetsrom . Hvis indeksmengden er diskret, sier man at er en stokastisk prosess i diskret tid, og dersom indeksmengden er kontinuerlig sier man at er en stokastisk prosess i kontinuerlig tid.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel er et sannsynlighetsmål på Borel sigma-algebraen på mengden av de reelle tallene :

De endelig-dimensjonale fordelingene for en stokastisk prosess er mengden av alle tenkbare flerdimensjonale sannsynlighetsfordelinger som assosieres med den stokastiske prosessen:

der index og mengdene for hvert valg av heltallet

Assosiert med en stokastisk prosess er dens forventningsverdifunksjon

og dens kovariansfunksjon

Disse defineres av følgende integraler med hensyn på sannsynlighetsmålet .

og

,

der forventningsverdien beregnes i produktrommet

Hvis det viser seg at de endelig-dimensjonale fordelingene for den stokastiske prosessen X er absolutt kontinuerlige med hensyn på Lebesgue-målet, så kan den forventningsverdien over skrives som

og

der funksjonen er den Radon-Nikodym-deriverte av sannsynlighetsfordelingen for den stokastiske variabelen med hensyn på Lebesgue-målet på

Denne deriverte kalles innenfor sannsynlighetsteori og statistikk for den stokastiske variabelens tetthetsfunksjon. På motsatt vis er funksjonen Radon-Nikodym-derivatet

av sannsynlighetsfordelingen for den to-dimensjonale stokastiske variabelen med hensyn på Lebesgue-målet i området


Stokastiske prosesser forekommer ofte i teknisk, økonomisk og finansiell teori.