Black-Scholes

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

Black-Scholes er et begrep hentet fra matematisk finans som brukes løst om tre ulike ting:

Begrepet tar sitt navn fra forfatterene Fisher Black og Myron Scholes som arbeidet med prissetting av en Europeisk opsjon på begynnelsen av 1970-tallet. Sammen med Robert C. Merton, som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes premiert med Nobelprisen i økonomi for sitt arbeid i 1997, mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i 1995.

Black-Scholes som en stokastisk prosess[rediger | rediger kilde]

Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:

under antagelsene at både driften og volatiliteten er konstante. Videre er "støyen" en standard Brownsk bevegelse, og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:

  • Short-salg er tillatt.
  • Det er ingen transaksjonskostnader.
  • Markedet er arbitrasje-fritt.
  • Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
  • Handel foregår kontinuerlig.
  • Man kan handle fraksjoner av en aksje.
  • Man kan låne penger i banken til en gitt risiko-fri rate.

Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen . Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den Oslo Børs benytter [1].

Black-Scholes som en partiell differensialligning[rediger | rediger kilde]

Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker.

Arbitrasje-fri utledning[rediger | rediger kilde]

Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke Feynman-Kacs teorem samt den karakteristiske generatoren assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen

med sluttbetingelsen

Utledning med delta-hedging[rediger | rediger kilde]

Ved å komponere en portefølje bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av delta hedging. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved

og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at

ved bruk av Itôs lemma.

Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og aksjer, og får da følgende:

.

Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen

Setter vi nå inn for og gitt over finner vi at

Siden vi ønsker at all usikkkerhet skal bort – vi vil hedge – velger vi i starten av tidsintervallet Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:

Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være , og vi finner at

Setter vi nå inn for og finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:

Kritikk[rediger | rediger kilde]

Portfolio.com ved Michael Lewis skrev i 2008 en kritisk artikkel[1] som omhandler denne modellen.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Inside Wall Street's Black Hole