Black-Scholes

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Black-Scholes er et begrep hentet fra matematisk finans som brukes løst om tre ulike ting:

Begrepet tar sitt navn fra forfatterene Fisher Black og Myron Scholes som arbeidet med prissetting av en Europeisk opsjon på begynnelsen av 1970-tallet. Sammen med Robert C. Merton, som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes premiert med Nobelprisen i økonomi for sitt arbeid i 1997, mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i 1995.

Black-Scholes som en stokastisk prosess[rediger | rediger kilde]

Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:

d S_t = \alpha S_t dt + \sigma S_t d W_t,

under antagelsene at både driften \alpha og volatiliteten \sigma er konstante. Videre er "støyen" W_t en standard Brownsk bevegelse, og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:

  • Short-salg er tillatt.
  • Det er ingen transaksjonskostnader.
  • Markedet er arbitrasje-fritt.
  • Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
  • Handel foregår kontinuerlig.
  • Man kan handle fraksjoner av en aksje.
  • Man kan låne penger i banken til en gitt risiko-fri rate.

Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen S_0. Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den Oslo Børs benytter [1].

Black-Scholes som en partiell differensialligning[rediger | rediger kilde]

Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker.

Arbitrasje-fri utledning[rediger | rediger kilde]

Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke Feynman-Kacs teorem samt den karakteristiske generatoren assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen

u_t + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2 u_{xx} + r x u_x - xu=0

med sluttbetingelsen

u(x,T)=\max(S-K,0).

Utledning med delta-hedging[rediger | rediger kilde]

Ved å komponere en portefølje bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av delta hedging. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved

d S_t = \alpha S_t dt + \sigma S_t d W_t,

og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at

V:=V(S,t)=\left( \alpha S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} d W_t

ved bruk av Itôs lemma.

Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og n aksjer, og får da følgende:

\Pi=V+n S.

Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall dt vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen

d\Pi = d V +  n d S.

Setter vi nå inn for dV og dS gitt over finner vi at

d\Pi = \sigma S \left( \frac{\partial V}{\partial S} - n \right) d W_t + \left( \alpha S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \frac{\partial V}{\partial t} - \alpha n S \right) dt.

Siden vi ønsker at all usikkkerhet skal bort – vi vil hedge – velger vi n=\frac{\partial V}{\partial S} i starten av tidsintervallet dt. Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:

d \Pi = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt.

Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være r \Pi dt, og vi finner at

r \Pi dt = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt.

Setter vi nå inn for \Pi og n finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:

\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} +  rS \frac{\partial V}{\partial S} -rV=0.

Kritikk[rediger | rediger kilde]

Portfolio.com ved Michael Lewis skrev i 2008 en kritisk artikkel[1] som omhandler denne modellen.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Inside Wall Street's Black Hole