PID-regulator

PID-regulator (proporsjonal, integrasjon, derivasjon) er en algoritme som brukes i reguleringsteknikken for å regulere elektrisk og mekaniske apparater som motorer, pumper, varmeelement, vifter, ventiler og andre pådragsorganer for å få stabile nivåer, temperaturer, tykkelser, vekter, volumer, eller mengder av andre slag. PID-regulatorer er mye brukt i prosessindustrien og robotikk.

I et dynamisk system har man en målt verdi, også kalt er-verdi. Det kan for eksempel være temperaturen i en kjele. Den ønskede verdien kaller man setpunkt eller skal-verdi. Dersom er-verdi, verdien som vises i dette tidspunkt, ikke er den samme verdien som skal-verdi, den ønskede verdien, er dette et avvik. Avvik er det man ønsker å fjerne og av denne grunn har man PID-systemet.

Styreenheten er en regulator med tre ledd som bestemmer pådraget – altså hvor mye effekt som skal brukes. De tre leddene er P – proporsjonalitet, I – integrasjon og D – derivasjon og relaterer til avviket mellom målt verdi (er-verdi) og ønsket verdi (skal-verdi).

Hvis man bruker en vanntank som eksempel:

• P – mottar et avvik og bruker pådrag for å jevne ut dette, men P – leddet skaper alltid et lastavhengig resteavvik, men gjør sin jobb veldig raskt.
• I – fjerner restavviket. ( I – leddet er ikke spesielt intelligent, så det kjører bare på til det har passert settpunkt )
• D – D – leddet roer ned I – leddet og ber det "slappe av" når det nærmer seg settpunkt. D-leddet bruker litt lengre tid enn P-leddet(P-bandet) på å utføre sin misjon.

Bidraget fra P-, I- og D-leddet blir summert i formelen:

$U=K_{p}\cdot e+{\frac {K_{p}}{T_{i}}}\int \limits _{0}^{t}e\ dt+K_{p}\cdot T_{d}\cdot {de \over dt}$

PID-regulatoren har tre justeringsfaktor, ett for hvert ledd. Ledda angir om regulatoren skal være rask, treg, nøyaktig osv.

• P-leddets justeringsfaktor: $K_{p}$
• I-leddets justeringsfaktor: $T_{i}$
• D-leddets justeringsfaktor: $T_{d}$

P - proporsjonalitet

P leddet gir et pådrag som er proporsjonalt med reguleringsavviket, med en gitt faktor. Denne faktoren kan f.eks. være 10 Watt per grad. Dette kalles proporsjonalforsterkning eller bare forsterkning.

Ligningen for P-leddet er:

$K_{p}\cdot e$

hvor $K_{p}$ er den justerbare forsterkningsgraden, og $e$ er avviket mellom skal-verdi og er-verdi.

Eksempel

• Skal-verdi (setpunkt): 50 grader
• Er-verdi (målt temperatur): 20 grader
• Avviket er altså $50-20=30gr$.
• Pådraget blir $30*10W=300W$.

Dersom avviket bare er 5 grader vil pådraget være 50 W.

Med kun P-ledd vil pådraget minke jo nærmere man kommer skal-verdien. I eksempelet med kjelen vil tilført effekt minke etterhvert som temperaturen nærmer seg setpunktet. Temperaturen stabilisere seg med et konstant avvik avhengig av balansen mellom tilført energi og tapt energi (varmetap). Dette avviket kaller man proporsjonalavvik.

I - integrasjon

Man kan tenke seg at man øker proporsjonalforsterkningen for å minke proporsjonalavviket. Men da vil systemet ved en gitt forsterkning bli ustabilt og begynne å svinge. Dette er i mange tilfeller ikke ønskelig.

I-leddet samler opp (integrerer) avviket over tid, med en gitt faktor. Med kjele-eksempelet kan denne faktoren f.eks være 3 W per minutt per grad avvik.

Ligningen for I-leddet er:

${\frac {K_{p}}{T_{i}}}\int \limits _{0}^{t}e\ dt$

$T_{i}$ er en justeringsfaktor som definerer integraltiden for I-leddet. For å kjøre regulatoren uten I-leddet må $T_{i}\rightarrow \infty$.

Eksempel

• Skal-verdi (setpunkt): 50 grader
• Er-verdi (målt temperatur): 48 grader
• Det proporsjonale pådraget er $(50-48)*10W=20W$.

Etter 2 minutter vil pådraget ha økt til $20W+3{\frac {W}{min*grader}}*2grader(avvik)*2min=32W$, dersom vi forutsetter at avviket holder seg konstant. I praksis vil avviket avta ettersom tilført effekt økes.

Med P- og I-ledd får man regulering uten proporsjonalavvik.

D - derivasjon

Målet med D-virkning er å dempe hurtige endringer i avviket. På et vis kan det sammenlignes med støtdemperne på en bil.

D-leddet ser på hvor hurtig avviket endrer seg. Dette benyttes gjerne dersom prosessbetingelsene endrer seg. Man kan for eksempel tenke seg at man endrer mengden vann i en kjele.

Ligningen for D-leddet er:

$K_{p}\cdot T_{d}\cdot {de \over dt}$

hvor $T_{d}$ er den justerbare derivattiden. Derivattiden er den tiden P-leddet bruker for å gi et like stort bidrag til utsignalet som det bidraget D-leddet gir straks innsignalet begynner å endre seg.

Eksempel

Kjelen tømmes og fylles bare litt opp med kaldt vann.

• Er-verdi (målt temperatur): 20 grader
• Det proporsjonale pådraget er $(50-20)*10W=300W$.

Med dette pådraget vil denne kjelen normalt koke over etter kort tid med så lite vann. D-leddet registrerer at temperaturen øker (avviket minker) raskt, og demper pådraget i forhold til hvor raskt den endrer seg.

Eksterne lenker

• PID-regulatoren hos Teknisk Ukeblad