Tillukning (matematikk)

En tillukning av en delmengde S under en operasjon er den minste mengden P som inneholder S og som er lukket under operasjonen. Mengden P er lukket under operasjonen når operasjonen utført på elementer i P produserer et resultat som er inneholdt i P.

Mengden av naturlige tall N er lukket under addisjon, siden summen av to naturlige tall også er et naturlig tall. Derimot er N ikke lukket under subtraksjon, siden for eksempel (5 - 8) = -3 ikke er et naturlig tal. Tillukningen av N under subtraksjon er mengden av heltall.

Tillukning brukes i mange matematiske strukturer og fagdisipliner, som i algebra, topologi og i metrisk rom. En finner ofte spesielle definisjoner av tillukning, tilpasset individuelle typer struktur. En definisjon som omfatter alle typer tillukning må nødvendigvis bli generell og abstrakt.

Definisjon

Gitt en delmengde $S$ i en mengde $V$ der det er definert en operasjon $f(x,y,z,...)$ på elemnter i $x,y,z\ldots$ i $V$. Delmengden er lukket i $S$ dersom operasjonen $f$ fra $S$ alltid produserer et element i i $S$:^{[trenger referanse]}

$S{\text{ lukket i }}V\qquad \iff \qquad (\forall x,y,z\ldots \in S)(f(x,y,z,\ldots )\in S)$.

Merk at en operasjon per definisjon er definert ved $f:(V\times \times V\times \cdots )\to V$, og resultatet av operasjonen ligger i $V$. Dette trenger generelt ikke være tilfelle i delmengden $S$.

Vanligvis vil en operasjon ha et endelig antall elementer, en endelig aritet. For å inkludere alle typer tillukning må en tillate at operasjonen også har uendelig aritet.

Sittet av to eller flere mengder som er lukket under en operajon, og som inneholder $S$, vil også ha de samme egenskapene. Tillukningen av $S$ i $V$ er definert som snittet av alle slike mengder. Også tillukningen er lukket og inneholder $S$.

Potensmengden ${\mathcal {P}}(V)$ til $V$ sammen med inklusjonsoperatoren $\subseteq$ er en partiell ordning, og tillukkingen er dermed den minste delmengden i $V$ som inneholder $S$ og som er lukket under operasjonen.

Notasjon for en tillukning av en mengde $S$ varierer sterkt, og alle de følgende skrivemåtene er i bruk:

${\overline {S}}\qquad S^{-}\qquad \operatorname {cl} S\qquad \operatorname {cl} (S)\qquad \operatorname {cl} _{V}S\qquad \operatorname {C} (S)$.

Operatoren $\operatorname {cl}$ kan skrives med både liten og stor bokstav C. Operatornavnet er forkortelse for engelsk «closure», i norsk faglitteratur vanlig omsatt med «tillukning».

En delmengde sies å være lukket under en samling av operasjoner dersom mengden er lukket under hver av operasjonene individuelt.{tr}}

En mengde som er lukket under en operasjon eller samling av operasjoner sies å tilfredsstille en lukningsegenskap. Ofte omtaler en tillukningen uten å presisere at mengden er en delmengde av en større helhet. I noen tilfeller kan lukningsegenskapen innføres som et aksiom , som da kan kalles et lukningsaksiom.

En lukket mengde er lik sin egen tillukning: $S={\overline {S}}$.

Tillukningsoperatorer

Definisjonen over er gitt ved hjelp av snittet mellom alle lukkede mengder. Alternativt kan en bruke en ekvivalent definisjon ved hjelp av en tillukningsoperator. Dette er en funksjon $\operatorname {cl}$ definert på potensmengden $\operatorname {cl$ :{\mathcal {P}}(V)\to {\mathcal {P}}(V)} med følgende egenskaper for alle argument $X$:

${\begin{alignedat}{3}&X\subseteq \operatorname {cl} (X)&&{\text{ekstensiv}}\\&X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {cl} (X)\subseteq \operatorname {cl} (Y)\qquad &&{\text{monoton}}\\&\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (X))=\operatorname {cl} (X)&&{\text{idempotent}}.\end{alignedat}}$

Eksempler

Mengden som består bare av tallet 0 er lukket under addisjon, multiplikasjon og subtraksjon.

Mengden av heltall er ikke lukket under divisjon, siden for eksempel 7/3 ikke er et naturlig tall.

De reelle tallene er ikke lukket under kvadratrot, siden for eksempel ${\sqrt {-1}}=i$ er et komplekst tall.

Tillukning i algebraiske strukturer

Flere algebraiske strukturer er definerte som lukket under binære operasjoner:

• En gruppe er lukket under en generell operasjon, for eksempel addisjon eller multiplikasjon.
• En ring er lukket under to operasjoner, addisjon og multiplikasjon.
• En kropp er en kommutativ ring, så denne er lukket under to operasjoner
• Et vektorrom er lukket under addisjon og under multiplikasjon med en skalar.

Siden disse strukturene også postulerer eksistens av invers-elementer, så vil mengdene også være lukket invers-operasjoner, som subtraksjon og divisjon.

I et vektorrom $V$ et den lineære utspenningen av en delmengde $S$ det minste delvektorrommet i $V$ som inneholder $S$. Operatoren her er lineærkombinasjoner av vektorer i $S$.

I rommet $\mathbb {R} ^{3}$ er den konvekse omhylningen tillukningen av mengden under alle konvekskombinasjoner.

Den algebraiske tillukningen av en tallkropp $K$ er lik unionen av mengden og en mengde av alle røtter i polynom som har elementer i $K$ som koeffisienter. For mengden av heltall er den algebraiske tillukningen lik mengden av komplekse tall.

Tillukning i topologiske rom

I et topologisk rom $V$ er en åpen mengde definert ved et sett av aksiomer. En lukket mengde er komplementet til en open mengde i $V$. En lukket mengde vil inneholde alle sine opphopningspunkt.

Tillukningen til en mengde $S$ i et topologisk rom kan defineres på flere alternative måter:

• Unionen av mengden $S$ og mengden av alle opphopningspunkt til $S$.
• Snittet av alle lukkede mengder som inneholder $S$
• Unionen av $S$ og randen til $S$.

Tillukning i metriske rom

En mengde i et metrisk rom er lukket dersom alle Cauchy-følger i mengden konvergerer mot en grense i mengden. Mengden er altså lukket under en grense-operator. Tillukningen av en vilkårlig mengde er tilsvarende en utviding av mengden til å inkludere alle grenser for Cauchy-følger i mengden.

Tillukning av en binær relasjon

En binær relasjon $R$ på $S$ er en delmengde av ordnede par i $S\times S$. For en slik relasjon kan en definere flere typer tillukning:

Refleksiv tillukning

Den minste refleksive relasjonen på $S$ som inneholder $R$, det vil si $R\cup \{(x,x)\mid x\in X\}$. Den refleksive tillukningen av operatoren $<$ («mindre enn») er $\leq$ («mindre eller lik»).

Symmetrisk tillukning

Den minste symmetriske relasjonen på $S$ som inneholder $R$ og som er lukket under en avbilding mellom $(x,y)$ og $(y,x)$, det vil si $R\cup \{(y,x)|(x,y)\in R\}$.

Transitiv tillukning

Den minste relasjonen på $S$ som inneholder $R$ og som er transitiv.