Åpen mengde

En åpen mengde er i topologi intuitivt sett en mengde U som er slik at hvis man starter i et hvilket som helst punkt x i U, så kan man alltid bevege seg et lite stykke i en hvilken som helst retning fra x og fremdeles befinne seg i U. En åpen mengde kan også defineres som en mengde som ikke inneholder sine egne randpunkter.

Et eksempel på åpne mengder er åpne intervaller. Et åpent intervall er et intervall uten endepunkter, som for eksempel intervallet (0,1), som inneholder alle tall mellom 0 og 1, men ikke tallene 0 og 1 selv. Intervallet [0,1], som inneholder alle tall mellom 0 og 1, inklusive endepunktene 0 og 1, er derimot en lukket mengde.

Definisjon

Metriske rom

For metriske rom har vi den følgende definisjonen av åpne mengder. (Metriske rom er en generalisering av vanlige euklidske rom, så denne definisjonen gjelder også for Rⁿ, og spesielt for den reelle tallinja.)

La d(x,y) betegne avstanden mellom de to punktene x og y. En mengde U kalles åpen hvis det for ethvert element x i U finnes et tall ε > 0 slik at hvis y er et element med avstand mindre enn ε fra x (det vil si d(x,y) < ε), så er også y et element i U.

En annen vanlig måte å definere åpne mengder på er å gå via omegner. Hvis x er et punkt i et metrisk rom, så definerer vi ε-omegnen om x til å være mengden

$D_{\varepsilon }(x)=\{y:d(x,y)<\varepsilon \}$,

det vil si mengden av alle de punktene som har avstand mindre enn ε til x. Vi definerer så en åpen mengde til å være en mengde U slik at det for ethvert element x i U finnes en ε > 0 slik at D_ε(x) ⊂ U – det vil si at ε-omegnen om x er inneholdt i U.

Merk at verdien av ε avhenger av punktet x. Hvis x ligger nær randen av U, må ε være tilsvarende liten, men må likevel være større enn 0.

Topologiske rom

I et topologisk rom defineres ikke åpne mengder ved hjelp av andre begreper, men anses som et fundamentalt konsept. Et topologisk rom består av en mengde X og en familie S av undermengder av X. Mengdene som er med i S antas å tilfredsstille visse betingelser som også blir tilfredsstilt av åpne mengder i metriske rom. En slik familie S kalles da en topologi på X, og medlemmene av S kalles åpne mengder.

Dette er en generalisering av åpne mengder i metriske rom: Hvis man tar et vilkårlig metrisk rom M, så vil de åpne mengdene som følger av definisjonen ovenfor, alltid tilfredsstille de betingelsene som settes for åpne mengder i et topologisk rom. Ethvert metrisk rom er dermed også, på en naturlig måte, et topologisk rom. Det omvendte gjelder imidlertid ikke.

Eksempler

Intervallet (0,1) på den reelle tallinja er en åpen mengde. For hvis x er et tall som ligger mellom 0 og 1, så kan vi la ε = min(x, 1 - x). Da vil ε-omegnen om x være intervallet (x-ε , x+ε), som nødvendigvis er inneholdt i intervallet (0,1).

Intervallet [0,1] er derimot ikke en åpen mengde, for hvis vi setter x = 0, vil enhver ε-omegn om x inneholde negative tall, som ikke ligger i intervallet [0,1]: