Lipschitz-kontinuitet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Lipschitz-kontinuerlig)
Hopp til navigering Hopp til søk
For en Lipschitz-kontinuerlig reell endimensjonal funksjon eksisterer det en dobbel kjegle (hvitt område) slik at midtpunktet kan flyttes langs grafen, slik at alle funksjonsverdier grafen tar alltid er utenfor det hvite området.

Lipschitz-kontinuitet angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinuitet og intuitivt en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. En funksjon sies å være Lipschitz-kontinuerlig dersom det finnes et reelt tall slik at, for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse ganget med konstanten større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Rudolf Lipschitz.

En deriverbar funksjon er alltid Lipschitz-kontinuerlig, og en Lipschitz-kontinuerlig funksjon er alltid (uniformt) kontinuerlig. Det motsatte er ikke nødvendigvis sant; en funksjon kan være (uniformt) kontinuerlig uten å være Lipschitz-kontinuerlig, og en funksjon kan være Lipschitz-kontinuerlig uten å være deriverbar. Lipschitz-kontinuitet kan generaliseres til Hölder-kontinuitet.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

En funksjon , der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være Lipschitz-kontinuerlig (eller å være en Lipschitz-funksjon) dersom det finnes en konstant slik at[1]

Dersom det finnes en slik C, kalles denne for en Lipschitz-konstant for funksjonen f. Denne betingelsen kalles for Lipschitz-betingelsen.

Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom og , der og angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon Lipschitz-kontinuerlig (eller at f er en Lipschitz-funksjon) dersom det finnes en konstant C slik at[1]

Dersom betingelsen holder i en omegn rundt en sier man at funksjonen er lokalt Lipschitz-kontinuerlig.

Klassen av alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner over et intervall angis av[2]

og for generelle metriske rom kan dette analogt defineres som

.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Lipschitz-kontinuerlige funksjoner
  • Funksjonen er Lipschitz-kontinuerlig, siden
for alle (alle lineære funksjoner er Lipscitz-kontinuerlige).
  • Funksjonen er Lipschitz-kontinuerlig, siden sinus er kontinuerlig, og ved middelverdisetningen finnes en slik at
Siden som er bundet ovenifra av 1, vil dette si at
.
Funksjonen er ikke Lipschitz-kontinuerlig over hele , siden den blir uendelig bratt når x går mot 0.
Funksjoner som ikke er Lipschitz-kontinuerlige
  • Funksjonen er ikke Lipschitz-kontinuerlig over hele , siden man alltid kan finne tall (x, y) som gjør at betingelsen ikke holder.
  • Funksjonen er ikke Lipschitz-kontinuerlig siden den blir uendelig bratt når x går mot 0. Hvis man antar (for motsigelse) at det finnes en konstant , kan man se på en følge som går mot 0, bruke middelverdisetningen og vise at funksjonen er større enn noe som går mot uendelig.

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

  • Alle lineære funksjoner er Lipschitz-kontinuerlige.[3]
  • Dersom er Lipschitz-kontinuerlig, avbilder den alle mengder med mål 0 til mengder med mål 0, og alle målbare mengder til målbare mengder.[3]
  • Dersom , der er et intervall i er deriverbar over , der er bundet over , er f Lipschitz-kontinuerlig; dette følger av middelverdisetningen.[2]
  • Dersom er deriverbar med kontinuerlig derivert, altså , er f Lipschitz-kontinuerlig over (). Videre, dersom er Lipschitz-kontinuerlig, er f en absolutt kontinuerlig funksjon over (). Dersom er absolutt kontinuerlig, er f en funksjon med avgrenset variasjon over (). Vi har altså at
[2][4]
  • (Rademachers teorem) Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er deriverbare nesten overalt.[5]
  • (McShanes, eller McShane-Whitneys utvidelsesteorem) Dersom er Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-konstant C, og , så finnes det en funksjon slik at (g definert over definisjonsmengden X) er lik . Resultatet kan ikke generaliseres til alle metriske rom, for eksempel ikke for X delmengde av ℓ2, rommet av alle kvadratisk summerbare følger.[1]
  • (Kirszbrauns teorem) Det samme gjelder i flere dimensjoner – dersom er Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-konstant C, og , så finnes det en funksjon slik at (g definert over definisjonsmengden X) er lik .[1]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b c d Juha Heinonen (2001). Lipschitz Functions. In: Lectures on Analysis on Metric Spaces. New York, NY: Universitext, Springer. s. 43-48. ISBN 978-1-4613-0131-8. 
  2. ^ a b c Christopher Heil (2019). Introduction to Real Analysis. Springer. s. 186-187. ISBN 978-3-030-26901-2. 
  3. ^ a b Christopher Heil (2019). Introduction to Real Analysis. Springer. s. 77-78. ISBN 978-3-030-26901-2. 
  4. ^ Christopher Heil (2019). Introduction to Real Analysis. Springer. s. 221-222. ISBN 978-3-030-26901-2. 
  5. ^ «Rademacher theorem». Encyclopedia of Mathematics. Besøkt 17. februar 2020. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]