Hölder-kontinuitet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

Hölder-kontinuitet angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinutitet og gir en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. Hölder-kontinuitet kan sees på som en generalisering av Lipschitz-kontinuitet; mens Lipschitz-kontinuitet gir en lineær begrensning, gir Hölder-kontinuitet en eksponensiell begrensning. En funksjon sies å være Hölder-kontinuerlig dersom det finnes to reelle tall C (større eller lik 0) og (større enn 0) slik at for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse, opphøyd i og ganget med C, større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Otto Hölder.

En funksjon som er Hölder-kontinuerlig med eksponent er Lipschitz-kontinuerlig. Hvis er funksjonen konstant. Alle Hölder-kontinuerlige funksjoner er også uniformt kontinuerlige, og dermed også kontinuerlige; det motsatte er ikke alltid sant.

Funksjoner som i seg selv og i sine partiell-deriverte er Hölder-kontinuerlige, hvis norm er endelig, sies å tilhøre et Hölder-rom.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

En funksjon , der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være Hölder-kontinuerlig (med eksponent ) dersom det finnes en konstant og en konstant slik at[1]

Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom og , der og angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon Hölder-kontinuerlig (med eksponent ) dersom det finnes en konstant C slik at

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Funksjoner som er Hölder-kontinuerlige
  • Alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er også Hölder-kontinuerlige. Dette gjelder f.eks. alle lineære funksjoner , siden
der og
  • Funksjonen er ikke Lipschitz-kontinuerlig over , men den er Hölder-kontinuerlig med konstant og eksponent :
Anta , da får vi

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Christopher Heil (2019). Introduction to Real Analysis. Springer. s. 31. ISBN 978-3-030-26901-2. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]