Insidensgeometri

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Insidensgeometri er en strengt logisk formulering av relasjoner mellom punkter, linjer og plan som inngår i forskjellige geometrier. Dette ble gjort som et resultat av oppdagelsen av ikke-euklidske geometrier i første halvdel av attenhundretallet. Disse viste at parallellaksiomet som Euklid hadde postulert, ikke er generelt gyldig. Det ble derfor viktig å undersøke egenskapene til mer generelle geometrier og hvilke antagelser som må gjøres for at disse er logisk konsistente. Spesielt viktig var bidraget til den tyske matematiker David Hilbert som i 1899 formulerte et sett med mer grunnleggende aksiom som kort tid etter ble publisert i hans verk Grundlagen der Geometrie.

Noe av det første som her ble klarlagt, var betydningen av relasjoner som sier at et punkt ligger på en linje eller en linje ligger i et plan. At et punkt ligger på en linje er ensbetydende med at linjen går gjennom punktet. Det sammenfattes ved å si at de er insidente. Enhver geometri kan i stor grad bygges opp fra slike insidensrelasjoner sammen med andre postulerte egenskaper.

Plan insidensgeometri[rediger | rediger kilde]

Trepunktsmodellen.

En insidensgeometri som bare inneholder punkter og linjer, sies å beskrive et plan. Hva slike punkt og linjer virkelig er, kan ikke nærmere forklares. De er primitive begrep hvis eksistens bare må aksepteres. Man kan illustrere dem som en prikk eller en strek på et papir, men de kan omtales uten at en slik konkret anskuliggjørelse må benyttes. To linjer sies å skjære hverandre hvis de har et punkt felles. I det motsatte tilfellet hvor de ikke har noe felles punkt, sies de å være parallelle.

De tre grunnleggende aksiomene for en plan insidensgeometri er:

  1. For to forskjellige punkt eksisterer det en unik linje som er insident med begge punktene.
  2. For enhver linje eksisterer det minst to ulike punkt som er insident med linjen.
  3. Det eksisterer tre ulike punkter slik at det ikke finnes en linje som er insident med alle tre punktene.

For et euklidsk plan med uendelig mange punkt er aksiomene oppfylt. I det motsatte tilfellet med bare tre punkter kan man også ha en insidensgeometri . Kalles punktene for P, Q og R, kan man definere tre linjer som mengdene {P,Q}, {Q,R} og {P,R}. Et punkt er da insident med en linje hvis det tilhører den tilsvarende mengden. Aksiomene er med disse definisjonene nå oppfylt.

Dette kalles trepunktsmodellen og er vist i figuren. Strekene som her illustrerer linjene, inneholder ingen andre punkter enn de som er angitt. Hver linje har et felles punkt med en annen slik at det er ingen parallelle linjer i denne modellen. Det er en endelig utgave av sfærisk geometri hvor alle linjer skjærer hverandre.

Affine plan[rediger | rediger kilde]

Firepunktsmodellen er en enkel modell for et affint plan.

Med flere punkt kan man på tilsvarende måte konstruere mer kompliserte geometrier. Legges et nytt punkt S til, har man da fire punkter og kan i alt lage seks linjer. De er gitt ved mengdene {P,Q}, {Q,R}, {R,P}, {S,Q}, {S,R} og {S,P}. Dette blir kalt for firepunktsmodellen og er illustrert i figuren. Den har tre par med parallelle linjer. For eksempel, et par består av linjene {P,Q} og {R,S}. En slik insidensgeometri hvor det til hver linje finnes minst en parallell linje, kalles et affint plan.

En modell med N  punkter vil ved denne konstruksjonen med to punkt på hver linje, gi opphav til en geometri med N(N + 1)/2 linjer. Men disse vil ikke oppfylle parallellaksiomet. Men med ni punkter og med tre punkt på hver linje er det mulig. En slik modell vil inneholde i alt tolv linjer og beskriver igjen et affint plan.

Projektive plan[rediger | rediger kilde]

Syvpunktsmodellen for et projektivt plan. Den prikkede linjen inneholder tre punkt i det uendelige.

Mens en affin geometri oppstår i en insidensgeometri ved at den inneholder parallelle linjer, vil en projektiv geometri ikke ha noen parallelle linjer. Hvilke som helst to linjer skjærer hverandre i et punkt. Derfor er trepunktsmodellen det enkleste eksemplet på et projektivt plan, men triviell.

Det minste, ikke-trivielle, projektive plan inneholder syv punkt. Kalles de A, B, ...., G, kan man forme syv linjer {A,B,D}, {D,E,G}, {A,C,G}, pluss {G,F,B}, {A,F,E}, {D,F,C}  og til slutt {B,C,E} som er linjen i det uendelige. De inneholder alle tre punkter, og gjennom hvert punkt går det tre linjer.

At det er like mange punkt som linjer i den projektive syvpunktsmodellen, er en symmetri som kalles for dualitet. Ethvert utsagn om et visst antall punkt har et tilsvarende utsagn for de samme antall linjer. Det er denne dualiteten som gjør projektiv geometri så elegant og grunnleggende.

Linjen i det uendelige inneholder punktene hvor de parallelle linjene i det affine planet kan tenkes å skjære hverandre. Hvis man derfor fjerner linjen {B,C,E}  fra syvpunktsmodellen sammen med dens punkt B, C og E, står man igjen med den affine firepunktsmodellen.

Litteratur[rediger | rediger kilde]