Cesàro-summering

Cesàro-summering er i matematisk analyse en alternativ måte å gi en sum til en uendelig rekke. Hvis rekken konvergerer på vanlig måte mot en sum A, er den også Cesàro-summabel og har Cesàro-summen A. Det viktige med Cesàro-summering er at en rekke som divergerer allikevel kan ha en veldefinert Cesàro-sum. Derimot er ei rekke som positivt konvergerer mot en uendelig verdi ikke i noe tilfelle summabel til en endelig verdi.

Cesàro-summering er oppkalt etter den italienske analytikeren Ernesto Cesàro (1859–1906).

Fremgangsmåte

Summen av de k første leddene i en uendelig følge {a_n } definerer en partialsum

S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}\,

av den uendelige rekken

S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,

Dersom følgen {S_k } konverger mot en verdi som også kalles S, sier en at den uendelige rekken konvergerer mot denne verdien.

Cesàro-summering av rekken kan gjenomføres når middelverdien A av alle partialsummene S_k eksisterer, det vil si

A=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}S_{k}

For konvergente rekker gir denne beregningen av summen et svar i overensstemmelse med det vanlige resultatet S. Men i tillegg kan den for noen divergente rekker også gi et endelig svar.^[1]

Eksempel

Grandis rekke 1 - 1 + 1 - 1 + ... er ikke konvergent. Partialsummene S_k svinger mellom 0 og 1 avhengig av om k er et like eller ulike tall. Derimot hvis man beregner middelverdien av de n første partialsummene,

A_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}S_{k},

finner man verdiene A_n = (1, 1/2, 2/3, 2/4, 3/5, 3/6, 4/7, 4/8, ... ) som kan sammenfattes i formelen

A_{n}={1 \over 2}+{1-(-1)^{n} \over 4n}

Når n blir veldig stor, går derfor middeleverdiene mot A = 1/2 som er Grandi-rekkens sum.

Hvis man på samme måte prøver å summere den divergente rekken 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, finner man delsummene S_k = (1, -1, 2, -2, 3, -3, ...) med aritmetiske middelverdier A_n = (1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, ….) som ikke konvergerer mot en entydig verdi. Denne rekken kan derfor ikke Cesàro-summeres.

Referanser

^ K. Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Dover, New York (1990). ISBN 978-0-486-66165-0.

Litteratur

(en) Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .
(en) Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd utgave) (publisert 1986), ISBN 978-0828403245 .
(en) Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric series (2nd utgave), Cambridge University Press (publisert 1988), ISBN 978-0521358859 .

Autoritetsdata

[Knopp-1] K. Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Dover, New York (1990). ISBN 978-0-486-66165-0.

[1]