Bra-ket-notasjon

I kvantemekanikken brukes bra-ket notasjon, eller Dirac-notasjon, ofte. Notasjonen bruker vinkelparenteser «$\langle$» og «$\rangle$», samt vertikale streker «$|$», for å skrive «bra»-er og «ket»-er. En «bra» skrives som $\langle A|$, og en «ket» skrives som $|B\rangle$.

Som rad- og kolonnevektorer

I et tilfelle der man ser på et komplekst vektorrom $\mathbb {C} ^{n}$, kan «bra»-er og «ket»-er sees på som henholdsvis rad- og kolonnevektorer. Hvis man antar at man har det hermitske indreproduktet på vektorrommet er en «bra», $\langle m|$, kompleks-transponert av sin tilsvarende «ket», $|m\rangle$.

For et endeligdimensjonalt vektorrom oppstår da rad- og kolonnevektorene:

$\langle A|=(A_{1}^{*},A_{2}^{*},...,A_{N}^{*})$

$|B\rangle ={\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\.\\.\\.\\B_{N}\end{pmatrix}}$

Indreproduktet mellom dem kan skrives som

$\langle A|B\rangle =(A_{1}^{*},A_{2}^{*},...,A_{N}^{*}){\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\.\\.\\.\\B_{N}\end{pmatrix}}=A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+...+A_{N}^{*}B_{N}$

I kvantemekanikken

Kvantemekaniske bølgefunksjoner kan beskrives av en tilstandsvektor i et komplekst lineært vektorrom, også kjent som et Hilbert-rom. Her kan en bølgefunksjon skrives som $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$, men fordelen med bra-ket-notasjonen er at den gjengir ting som ikke vil la seg beskrive av en bølgefunksjon, slik som spinn. $|\psi \rangle$ kalles en tilstandsvektor. Også her er en «bra» den hermitsk adjungerte av den tilsvarende «ket»-en, og vice versa:

$\langle \psi |=|\psi \rangle ^{\dagger }{\text{ og }}|\psi \rangle =\langle \psi |^{\dagger }$

Tilstandsvektoren kan konstrueres som en lineær kombinasjon av ortonormale tilstander i et $N$-dimensjonalt Hilbert rom

$|\psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}c_{n}|n\rangle$

hvor vi har at indreproduktet mellom de ortonormale tilstandene er

$\langle \psi _{i}|\psi _{j}\rangle =\delta _{ij},{\text{ hvor }}\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{hvis }}i=j\\0,&{\text{hvis }}i\neq j\end{cases}}$ er det vanlige Kronecker-delta.

For en normalisert tilstand er

$|\psi (x)|^{2}=\langle \psi |\psi \rangle =\langle \psi _{1}|c_{1}^{*}c_{1}|\psi _{1}\rangle +\langle \psi _{2}|c_{2}^{*}c_{2}|\psi _{2}\rangle +...+\langle \psi _{N}|c_{N}^{*}c_{N}|\psi _{N}\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}+...+|c_{N}|^{2}=1$

der $|c_{i}|^{2}$ er sannsynligheten for å finne partikkelen man beskriver i tilstanden $|i\rangle$.