Bilineær form

Innen matematikk sies en funksjon sies å være på bilineær form dersom den er definert fra det kartesiske produktet av to vektorrom til skalarkroppen vektorrommet er definert over, og er lineær i hvert argument. Bilineære former er en generalisering av lineære funksjoner, og et spesialtilfelle av funksjoner på multilineær form.

Merk at man ikke kompleks-konjugerer skalarene; dette gjøres derimot for funksjoner på sesquilineær form, som ofte er mer interessante dersom man jobber med komplekse vektorrom.

Definisjon

En bilineær form er en funksjon

$f:V\times V:\mathbb {K}$

der V er et vektorrom definert over $\mathbb {K}$, som vanligvis er de relle tallene $\mathbb {R}$ eller de komplekse tallene $\mathbb {C}$, som oppfyller at

1. $f(ax+by,z)=af(x,y)+bf(y,z)$, og
2. $f(x,ay+bz)=af(x,y)+bf(y,z)$

for alle vektorer $x,y,z\in V$ og alle skalarer $a,b\in \mathbb {K}$. Et vektorrom V definert med en bilineær form f kalles for et bilineært rom.

Spesialiseringer

En bilineær form $f$ sies å være

1. refleksiv hvis $f(x,y)=0$ dersom $f(y,x)=0$
2. symmetrisk hvis $f(x,y)=f(y,x)$
3. skjevsymmetrisk hvis $f(x,y)=-f(x,y)$
4. alternerende hvis $f(x,x)=0$

for alle $x,y\in V$.

Litteratur

• Vivek Sahai og Vikas Bist (2002). Linear Algebra. CRC Press. ISBN 9780849324260. 

Eksterne lenker

• (en) Todd Rowland, Bilinear Form i MathWorld.
• (en) Todd Rowland, Symmetric Bilinear Form i MathWorld.