Alhazens (Ibn al-Haythams) problem

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

Alhazens problem eller al-Hayshams problem er oppkalt etter den ellevte århundres arabiske matematiker Alhazen (Ibn al-Haytham) som presenterte en geometrisk løsning på problemet i sin bok Optikkens bok. Denne geometriske løsningen består av kvadratiske ligninger og ble oppdaget så sent som i 1997 av den britiske matematikeren Peter M. Neumann.

Geometrisk formulering av problemet[rediger | rediger kilde]

Problemet består av å sende ut lys fra to punkter på en sirkel (eller tegne to linjer), slik at de møtes i et tredje lyspunkt med samme vinkelgrader som står vinkelrett på dette tredje lyspunktet (eller punktet). Det er et gjennombrudd i optikk, fordi kan man bruke denne løsningen til å løse følgende problem i optikk: «Gitt en lyskilde og et sfærisk speil der lys vil bli reflektert til øyet av en observerer.»[1][2][3][klargjør]

Ibn al-Hayshams løsning[rediger | rediger kilde]

Ibn al-Haytham løste problemet ved bruk av koniske seksjoner og et geometrisk bevis. Han utledet en formel for summen av fjerdegradpotenser.

Hans metode gikk ut på å finne en formel for summen av n-te potens. Dette resultatet brukte han til å lage integraler. Summer av integraler med annengradpotens og fjerdegradpotens lot ham kalkulere volumet av paraboloiden.[4]

Algebraisk løsning[rediger | rediger kilde]

Senere forsøkte mange matematikere å finne en algebraisk løsning på det ibn al-Haysham kom fram til. Disse matematikere var Christiaan Huygens, James Gregory, Guillaume de l'Hôpital, Isaac Barrow, blant mange andre. De brukte flere metoder, inkludert geometriske undersøkelser og derivasjon av komplekse tall.[5]

En algebraisk løsning ble endelig oppdaget i 1965 av aktuaren Jack M. Elkin.[6] Andre løsninger ble oppdaget i 1989 av Harold Riede[7] og i 1997 av matematikeren ved Oxford universitet, Peter M. Neumann.[8]

Generalisering[rediger | rediger kilde]

Mitsubishi Electric Research Labs utvidet problemet til å gjelde generell rotasjonell symmetriske kvadratiske, inkludert hyperbolske, parabolske og eliptiske speil.[9] De viste at et speils refleksjonspunkt kan bli beregnet ved å løse en åttendegradligning. Hvis utgangspunktet eller kamera (linsen) er plassert vinkelrett på speilet, vil graden av ligningen bli redusert til sjettegrads.[10] Ibn al-Hayshams løsning kan også bli utvidet til flere lysbrytningrefleksjoner fra en sfærisk ball; Gitt en lyskilde og en sfærisk ball av bestemt lysbrytningsindeks, kan det nærmeste punktet på den sfæriske ballen bli reflektert til øyet av en observerer ved å løse en tiendegradsligning.[10]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ O’Connor, John og Robertson, Edmund F. «Alhazens (Ibn al-Haythams) problem». MacTutor History of Mathematics archive. Universitetet i St. Andrews. 
  2. ^ MacKay, R. J.; Oldford, R. W. (August 2000), «Scientific Method, Statistical Method and the Speed of Light», Statistical Science 15 (3): 254–278, DOI:10.1214/ss/1009212817, MR 1847825 
  3. ^ Weisstein, Eric. «Alhazen's Billiard Problem». Mathworld. Besøkt 24. september 2008. 
  4. ^ Victor J. Katz (1995), «Ideas of Calculus in Islam and India», Mathematics Magazine68 (3): 163–174 [165-9 & 173-4]
  5. ^ Smith, John D. (1992). «The Remarkable Ibn al-Haytham». The Mathematical Gazette. 76 (475): 189–198. doi:10.2307/3620392. 
  6. ^ Elkin, Jack M. (1965), «A deceptively easy problem», Mathematics Teacher 58 (3): 194–199 
  7. ^ Riede, Riede (1989), «Reflexion am Kugelspiegel. Oder: das Problem des Alhazen» (på German), Praxis der Mathematik 31 (2): 65–70 
  8. ^ Highfield, Roger (1 April 1997), «Don solves the last puzzle left by ancient Greeks», Electronic Telegraph 676, arkivert fra originalen on November 23, 2004, https://web.archive.org/web/20041123051228/http://www.telegraph.co.uk/htmlContent.jhtml?html=%2Farchive%2F1997%2F04%2F01%2Fngre01.html, besøkt 2008-09-24 
  9. ^ Agrawal, Amit; Taguchi, Yuichi; Ramalingam, Srikumar (2011), Beyond Alhazen's Problem: Analytical Projection Model for Non-Central Catadioptric Cameras with Quadric Mirrors, IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, arkivert fra originalen on 2012-03-07, https://web.archive.org/web/20120307040949/http://www.umiacs.umd.edu/~aagrawal/cvpr11/fp/fp.html 
  10. ^ a b Agrawal, Amit; Taguchi, Yuichi; Ramalingam, Srikumar (2010), Analytical Forward Projection for Axial Non-Central Dioptric and Catadioptric Cameras, European Conference on Computer Vision, arkivert fra originalen on 2012-03-07, https://web.archive.org/web/20120307042704/http://www.umiacs.umd.edu/~aagrawal/eccv10/fp/fp.html 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]