Kinetisk teori

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Kinetisk teori (eller kinetisk gassteori) forsøker å forklare makroskopiske egenskaper ved gasser, som trykk, temperatur eller volum, ved å ta for seg gassenes molekylære sammensetninger og bevegelser. Teorien sier hovedsakelig at trykk ikke er en konsekvens av statisk frastøtning mellom molekyler, som var Isaac Newtons gjetning, men på grunn av kollisjoner mellom molekyler som beveger seg med forskjellige hastigheter. Kinetisk teori er også kjent som kinetisk-molekylær teori eller kollisjonsteorien.

Historie[rediger | rediger kilde]

I 1740 publiserte Daniel Bernoulli Hydrodynamica, som la grunnlaget for den kinetiske gassteorien. I dette arbeidet foreslo Bernoulli at gasser består av et stort antall molekyler som beveger seg i alle retninger, at deres støt mot en overflate er opphavet til gasstrykket som kan måles og føles av oss, og at det vi opplever som varme simpelthen er molekylenes kinetiske energi. Denne modellen brukes fortsatt i dag, men ble ikke akseptert med en gang; delvis fordi energikonservering ikke enda var akseptert, og fordi det ikke var åpenbart for fysikere hvordan kollisjonene mellom molekylene kunne være helt elastisk støt elastiske.

Andre foregangsmenn for den kinetiske teorien (som ble oversett av deres samtidige) var Dani Bernhardt (1747)[1] , Georges-Louis Le Sage (ca. 1780, utgitt 1818)[2] , John Herapath (1816)[3] og John James Waterston (1843)[4] , som koblet deres forskning med sin utvikling av mekaniske forklaringer på gravitasjon. I 1856 utviklet August Krönig, sannsynligvis etter å ha lest en avhandling av Waterston, en enkel kinetisk gassmodell, som bare tok for seg partiklenes translasjonsbevegelse.[5]


I 1857 utviklet Rudolf Clausius, i følge ham selv uavhengig av Krönigs arbeider, en lignende, men mer sofistikert versjon av teorien. Denne tok for seg partiklenes translasjonsbevegelse, og, i motsetning til Krönigs teori, i tillegg deres rotasjons- og - vibrasjonsbevegelse. I det samme arbeidet introduserte han konseptet om en partikkels midlere fri veilengde.[6] I 1859, etter å ha lest en avhandling av Clausius, formulerte James Clerk Maxwell Maxwell-distribusjonen for molekylhastigheter, som ga andelen molekyler i et visst hastighetsintervall. Dette var den aller første statistiske loven innen fysikk.[7] I sin tretten sider lange artikkel, Molecules, utgitt i septemberutgaven av Nature, sier Maxwell: «det blir fortalt oss at et 'atom' er et materielt punkt, inngytt med og omgitt av 'potensialkrefter', og at når 'flyvende molekyler' stadig treffer et hardt legeme dannes det som kalles luftens eller gassens trykk»[8]

I begynnelsen av det tyvende århundre ble imidlertid atomer sett på av mange fysikere heller som rent hypotetiske oppfinnelser enn reelle objekter. Et viktig bidrag til å få snudd denne trenden var Albert Einsteins (1905)[9] og Marian Smoluchowskis (1906)[10] avhandlinger om Brownske bevegelser, som lyktes i å gjøre visse nøyaktige kvantitative forutsigelser basert på den kinetiske teori.

Postulater[rediger | rediger kilde]

Temperaturen til en ideell enatomig gass er et mål knyttet til den gjennomsnittlige kinetiske energien til alle atomene i gassen når de er i bevegelse. I denne animasjonen er størrelsenheliumatomene i forhold til avstander seg i mellom vist i skala ved et trykk på 1 950 atm. Disse atomene har ved romtemperatur en viss, gjennomsnittlig hastighet (her redusert 2 × 1012 ganger).

Ideell gass-teori gjør følgende antagelser:

  • Gassen består av veldig små partikler, hver med en masse eller vekt i SI-enheter, kilogram.
  • Antall molekyler er stort slik at problemet kan behandles statistisk.
  • Molekylene er i konstant, tilfeldig bevegelse. De hurtige partiklene kolliderer konstant med hverandre og med veggene i beholderen.
  • Kollisjonene mellom gasspartiklene og veggene i beholderen er perfekt elastiske.
  • Vekselvirkningen mellom molekylene er neglisjerbare. De virker ikke på hverandre med krefter unntatt når de kolliderer.
  • Det totale volumet til summen av de enkelte gassmolekylene er neglisjerbare sammenlignet med beholderens volum. Dette er ekvivalent med å si at gjennomsnittsavstanden mellom gasspartiklene er relativt stor sammenlignet med partiklenes utstrekning.
  • Molekylene er perfekte sfærer og er elastiske.
  • Den gjennomsnittelige kinetiske energien til gasspartiklene avhenger kun av systemets temperatur.
  • Relativistiske effekter er neglisjerbare.
  • Kvantemekaniske effekter er neglisjerbare. Dette betyr at avstanden mellom partiklene er mye større enn deres termiske de Broglie-bølgelengde og molekylene kan behandles som klassiske objekter.
  • Tiden som brukes av en partikkel på å kollidere med beholderveggen er neglisjerbar sammenlignet med tiden mellom to kollisjoner.
  • Bevegelsesligningene for molekylene er tidsreversible.

Mer moderne teorier har mindre strenge antagelser og er basert på Boltzmann-ligningen. Disse kan beskrive egenskapene til gasser med høy tetthet ganske nøyaktig, fordi de inkluderer molekylenes volum. De nødvendige antagelsene er da fraværelsen av kvanteeffekter, molekylært kaos og små gradienter i stoffegenskaper. Utviklinger til høyere orden i tetthet er kjent som virialutviklinger.

Trykk[rediger | rediger kilde]

Trykk er forklart av kinetisk teori å oppstå fra kreftene som påføres beholderveggene fra gassmolekylene. Anta en gass med N molekyler, hver med masse m, innelukket i en kubisk beholder med volum V. Når et gassmolekyl kolliderer med beholderveggen vinkelrett på x-aksen og spretter i motsatt retning med samme fart (et elastisk støt), er bevegelsesmengden som partikkelen taper og veggen mottar gitt ved

\Delta p_x = p_i - p_f = 2 m v_x\,

der vx er x-komponenten til partikkelens starthastighet.

Selv om partikkelen støter mot en sidevegg en gang per 1l/vx tidsenheter (der l er beholderens lengde), er det bare endringen i bevegelsesmengde for en vegg som her vurderes. Dermed blir tiden mellom hvert støt mot en viss vegg 2l/vx tidsenheter .

\Delta t = \frac{2l}{v_x}

Kraften som utføres av denne partikkelen er

 F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{\frac{2l}{v_x}} = \frac{mv_x^2}{l}

Den totale kraften som virker på veggen blir da

 F = \frac{m\sum_j v_{jx}^2}{l}

der det summeres over alle gassmolekylene i beholderen.

Hastighetens størrelse for hver partikkel følger:

 v^2=v_x^2 + v_y^2 + v_z^2

Ved så å se på den totale kraften som virker på alle seks veggene i beholderen får man:

 \mbox{Total kraft} = 2\cdot \frac{m}{l}(\sum_j v_{jx}^2 +\sum_j v_{jy}^2 + \sum_j v_{jz}^2) = 2\cdot\frac{m}{l}\sum_j(v_{jx}^2 + v_{jy}^2 + v_{jz}^2) = 2\cdot\frac{m\sum_j v_j^2}{l}

der en ekstra faktor av to kommer inn fordi man nå ser på begge veggene i en gitt retning.

Om en antar at det er et stort antall partikler som beveger seg tilstrekkelig vilkårlig, er kraften på hver vegg omtrent den samme, og ved å kun se på kreftene på en av veggene får man

F = \frac{1}{6} \left(2 \cdot \frac{m \sum_j v_{j}^2}{l}\right) = \frac{m \sum_j v_{j}^2}{3l}.

Størrelsen \sum_j v_{j}^2 kan skrives som {N} \overline{v^2}, der streken betyr at man tar et gjennomsnitt, her gjennomsnittet over alle partiklene. Denne størrelsen kalles også v_{rms}^2, der v_{rms} er rotmiddelkvadrathastigheten til hele samlingen av partikler.

Dermed kan kraften skrives som

F = \frac{Nmv_{rms}^2}{3l}

Gassens trykk, som er kraft per arealenhet, kan nå skrives som

P = \frac{F}{A} = \frac{Nmv_{rms}^2}{3Al}

der A er arealet av den veggen kraften virker på.

Dermed, siden tverrsnittsarealet ganget med lengden er lik volumet, har vi følgende uttrykk for trykket:

P = {Nmv_{rms}^2 \over 3V}

der V er volumet. I tillegg, siden Nm er gassens totale masse, og masse delt på volum er tetthet, er

 P = {1 \over 3} \rho\ v_{rms}^2

der ρ er gassens tetthet.

Dette resultatet har stor betydning, for det knytter sammen trykk, en makroskopisk egenskap, med den gjennomsnittelige (translasjonelle) kinetiske energi per molekyl (1/2mvrms2), som er en mikroskopisk egenskap. Merk at produktet av trykket og volumet simpelthen er to tredeler av den totale kinetiske energien.

Temperatur og kinetisk energi[rediger | rediger kilde]

Fra tilstandsligningen for ideell gass


   \displaystyle 
   PV = N k_B T

(1)

der kB er Boltzmanns konstant, følger det fra det foregående at temperaturen T kan beregnes fra den kinetiske energien til partiklene:


   \displaystyle 
   PV 
   = 
   N k_B T 
   = 
   \frac
   {N m v_{rms}^2}
   {3}
   \Longrightarrow
   T
   =
   \frac
   {m v_{rms}^2}
   {3 k_B}

(3)

Ligning (3) er et av de viktigste resultatene i kinetisk teori: Den gjennomsnittelige molekylære kinetiske energien er proporsjonal med den absolutte temperaturen. Fra ligning (1) og ligning (3) har man


   \displaystyle 
   PV 
   =
   \frac
   {2}
   {3}
   U

(4)

Så produktet av trykket og volumet per mol er proporsjonal med den gjennomsnittelige (translasjonelle) kinetiske energien.

Ligning (1) og ligning (4) kalles de «klassiske resultatene», som også kan utledes fra statistisk mekanikk.

Siden det er 3N frihetsgrader i et enatomig-gass-system med N partikler, er den kinetiske energien per frihetsgrad


   \displaystyle 
   \frac
   {U}
   {3 N}
   =
   \frac
   {k_B T}
   {2}

(5)

Proporsjonalitetskonstanten i kinetisk energi per frihetsgrad er 1/2 ganger Boltzmanns konstant. Dette resultatet er knyttet til ekvipartisjonsteoremet.

Toatomige gasser burde ha 7 frihetsgrader, men oppfører seg som om de bare har 5.

Dermed er den kinetiske energien per Kelvin (enatomig ideell gass):

  • per mol: 12,47 J
  • per molekyl: 20.7 yJ = 129 μeV

Ved normale tilstander for trykk og temperatur (273,15 K), fås

  • per mol: 3406 J
  • per molekyl: 5.65 zJ = 35.2 meV

Antall støt med vegg[rediger | rediger kilde]

Man kan regne ut antall atomære eller molekylære støt mot en beholdervegg per arealenhet per tidsenhet.

Antas en ideell gass, gir en utledning[11] en ligning for antall kollisjoner per tidsenhet per arealenhet:

A = \frac{1}{4}\frac{N}{V} v_{avg} = \frac{\rho}{4} \sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}} \frac{1}{m} \,

Molekylers rotmiddelkvadrathastighet[rediger | rediger kilde]

Fra formelen for kinetisk energi kan det vises at

v_{rms}^2 = \frac{3RT}{\mbox{molar mass}}

med v i m/s, T i Kelvin og R er gasskonstanten. Den molare massen er gitt som kg/mol. Den mest sannsynlige hastigheten er 81,6% av rotmiddelkvadrathastigheten.

Se også[rediger | rediger kilde]

Kilder[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Lomonosow, M. (1970), «On the Relation of the Amount of Material and Weight (1758)», Mikhail Vasil'evich Lomonosov on the Corpuscular Theory (Cambridge: Harvard University Press): 224-233 
  2. ^ Le Sage, G.-L. (1818), «Physique Mécanique des Georges-Louis Le Sage», i: Prévost, Pierre, Deux Traites de Physique Mécanique, Geneva & Paris: J.J. Paschoud, ss. 1-186, http://dz1.gdz-cms.de/index.php?id=img&no_cache=1&IDDOC=304083 
  3. ^ Herapath, J. (1816), «On the physical properties of gases», Annals of Philosophy: 56-60, http://books.google.com/books?id=dBkAAAAAMAAJ&pg=PA56 
    Herapath, J. (1821), «On the Causes, Laws and Phenomena of Heat, Gases, Gravitation», Annals of Philosophy 9: 273-293, http://books.google.com/books?id=nCsAAAAAMAAJ&pg=RA1-PA273 
  4. ^ Waterston, JJ (1843). Thoughts on the Mental Functions.  (gjenutgitt i hans Papers, 3, 167, 183.)
  5. ^ Krönig, A. (1856), «Grundzüge einer Theorie der Gase», Annalen der Physik 99: 315-322 
  6. ^ Clausius, R. (1857), «Über die Art der Bewegung, die wir Wärme nennen», Annalen der Physik 100: 353-379 
  7. ^ Mahon, Basil (2003). The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 0-470-86171-1. 
  8. ^ Maxwell, James Clerk, "Molecules". Nature, September, 1873.
  9. ^ Einstein, A. (1905), «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen.», Annalen der Physik 17: 549-560 
  10. ^ Smoluchowski, M. (1906), «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen», Annalen der Physik 21: 756-780 
  11. ^ Collisions With a Surface

Chapman, Sydney og Cowling, T.G. (1991). The Mathematical Theory of Non-uniform Gases : An Account of the Kinetic Theory of Viscosity, Thermal Conduction and Diffusion in Gases. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]