Jebsen-Birkhoffs teorem

Forsiden til publikasjonen i 1921 med Jebsens resultat.

Jebsen-Birkhoffs teorem er en konsekvens av Einsteins generelle relativitetsteori som sier at metrikken utenfor en sfærisk symmetrisk massefordeling som varierer med tiden, er den samme som når den er konstant. Da er den gitt ved Schwarzschilds løsning. Dette resultatet ble først funnet av den norske fysiker Jørg Tofte Jebsen i 1920 og av den amerikanske matematiker George David Birkhoff et par år senere. Teoremet betyr blant annet at en pulserende, kuleformet stjerne ikke vil emittere gravitasjonsbølger.

Fysisk betydning

Fra Newtons gravitasjonslov følger at tyngdekraften utenfor en sfærisk symmetrisk massefordeling er den samme som om hele massen var samlet i sentrum. Dette viktige resultatet går under navnet av Newtons skallteorem. Det betyr også at tyngdekraften innenfor et sfærisk symmetrisk skall må være null.

Da denne tyngdeloven og Coulombs lov i elektrostatikken har samme form, vil man her finne lignende konsekvenser. For eksempel vil det elektriske feltet utenfor en sfærisk symmetrisk ladningsfordeling være den samme som om hele ladningen var konsentrert i sentrum. Likedan vil feltet innenfor et ladet skall være null.

Hvis denne ladningsfordelingen varierer med tiden, vil det ikke bli sendt ut noen elektromagnetisk stråling, noe som alltid vil skje i det generelle tilfellet hvor der ikke er noen sfærisk symmetri. Det skyldes at en kulesymmetrisk fordeling ikke har noen dreieimpuls, mens strålingen alltid vil ha det. Kvantemekanisk tilsvarer det at hvert foton i strålingen har spinn S = 1.

Dette er også forklaringen av Jebsen-Birkhoffs teorem. Gravitasjonsstråling består av gravitoner som har spinn S = 2, mens den sfæriske massefordelingen har null spinn, selv om den varierer med tiden. Metrikken utenfor denne vil derfor være den samme som i det statiske tilfellet, det vil si være gitt ved Schwarzschild-metrikken.

På samme måte er geometrien på innsiden av et kulesymmetrisk, massivt skall gitt ved Minkowski-metrikken såfremt det ligger utenfor Schwarzschild-radius for dette systemet.

Jebsens bevis

Det var under sitt opphold hos professor Carl Wilhelm Oseen ved Universitetet i Uppsala i 1920 at Jepsen kom frem til sitt teorem som ble publisert året etter. På den tiden var den eksakte løsningen av Einsteins gravitasjonsligning utenfor en kuleformet masse funnet av Karl Schwarzschild i 1916 av største betydning. Nesten samtidig ble en forbedret utgave av denne løsningen funnet av den nederlandske doktorgradsstudenten Johannes Droste. Det var dennes valg av koordinater som Jebsen gjorde bruk av da han ville undersøke hvordan løsningen så ut når man ikke lenger forlangte at den skulle være statisk.

Birkhoffs bevis av teoremet ble publisert i 1923 i en lærebok som skulle få stor utbredelse. Det var nok grunnen til at hans navn alene i lang tid er blitt knyttet til teoremet. Men da hans bevis var mer abstrakt og i større grad basert på symmetriene i problemet, er det Jebsens mer direkte utledning som senere er den mest vanlig.

I beviset er det enklest å bruke koordinater slik at lyshastigheten c = 1. Disse består da av en tidskoordinat t, en radiell koordinat r og to sfæriske koordinater θ og φ. Metrikken kan da uttrykkes ved det kvadratiske linjeelementet

$ds^{2}=A(r,t)dt^{2}-B(r,t)dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2})$

hvor de to funksjonene A og B må finnes fra løsning av Einsteins ligninger. Ved å se bort fra den kosmologiske konstanten som her ikke er viktig, kan disse ligningene utenfor den kulesymmetriske massefordelingen skrives som E_μν = 0. Alle komponentene til Einsteins krumningstensor skal være null. Disse kan beregnes direkte fra metrikken, og man finner

$E_{tt}={A \over Br^{2}}{\Big (}{r \over B}{\partial B \over \partial r}+B-1{\Big )}=0$

$E_{tr}=E_{rt}={1 \over Br}{\partial B \over \partial t}=0$

$E_{rr}={1 \over r^{2}}{\Big (}{r \over A}{\partial A \over \partial r}-B+1{\Big )}=0$

Den midterste ligningen sier med en gang at funksjonen B kun er en funksjon av den radielle koordinaten r. Denne funksjonen kan så finnes fra den første ligningen som da blir den samme som for den statiske Schwarzschild-løsningen, det vil si

$B(r)={1 \over 1-2GM/r}$

Her er G gravitasjonskonstanten og M er den totale massen til den sfæriske massefordelingen. Brukes nå dette resultatet i den siste ligningen, finner man at den andre funksjonen må oppfylle AB = f (t)  som er en vilkårlig funksjon av tiden. Men da A opptrer foran dt² i linjeelementet, kan den settes lik en ved å innføre en ny tidskoordinat. Derfor er A = 1/B slik at metrikken i dette generelle tilfellet er gitt ved den samme, statiske Schwarzschild-metrikken.