Parallellogramloven

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk
Et parallellogram. Sides er vist i blått og diagonalene i rødt

Parallellogramloven er i geometri en sammenheng mellom lengdene av sidene og diagonalene i et parallellogram. I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet gjelder også en generalisert form for parallellogramloven, som en normidentitet mellom lineærkombinasjoner av to vektorer.

Lar en hjørnene i et parallellogran være betegnet A, B, C og D, slik som vist på figuren til høyre, så kan lengden av sidene betegnes AB, BC, CD og DA. Lengden av de to diagonalene er AC og BD. I euklidsk geometri er lengden av motstående sider i et parallellogram like lange, slik at AB = CD and BC = DA. Parallellogramloven kan da uttrykkes som

Dersom parallellogrammet også er et rektangel, så er de to diagonalene like lange: AC = BD. Parallellogramloven reduserer seg da til Pythagoras’ læresetning:

Parallellogramloven i indreproduktrom[rediger | rediger kilde]

Vektorer som inngår i parallellogramloven

I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet er parallellogramloven en identitet mellom vektornormer:[1]

Identiteten vil være oppfylt for alle vektorer x og y. Sammenhengen mellom normen og indreproduktet er gitt ved

og bevis for at identiteten er oppfylt følger umiddelbart fra egenskaper til indreproduktet:

Parallellogramloven framkommer ved å summere de to uttrykkene:

Dersom x er ortogonal til y, da er og parallellogramloven reduserer seg igjen til Pythagoras' læresetning:

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. s. 183. ISBN 0-273-08404-6.