Omløpstid

Illustrasjon av planetenes bevegelser i Solsystemet. Bortsett fra Pluto i rødt går de andre i tilnærmet sirkulære baner.

Omløpstid i astronomien angir den tid som et himmellegeme som en stjerne eller planet behøver for å gjøre et fullstendig omløp rundt et annet legeme når det er i en bunden bane om dette. Ifølge Keplers lover er slike baner alltid ellipser med sirkler som spesialtilfelle. Begrepet omtales ofte som bevegelsens periode og benyttes også for satellitter i baner rundt Jorden, asteroider rundt Solen eller for dobbeltstjerner.

Vanligvis defineres denne perioden i forhold til et fast punkt på fiksstjernehimmelen og kalles den sideriske omløpstiden. Den kan beregnes fra Newtons gravitasjonslov som beskriver to masser M  og m  som er bundet sammen ved gravitasjonskraften. Når M >> m, vil den tunge massen ligge i ro, mens den andre beveger seg rundt denne i en ellipsebane med periode

$P=2\pi {\sqrt {a^{3} \over GM}}$

Her er a  banens store halvakse og G  er gravitasjonskonstanten. Dette er et matematisk uttrykk for Keplers 3. lov. For en sirkulær bane er a  radius til denne.

Synodisk omløpstid

Når en ytre planet som Mars er i opposisjon, kan den observeres i motsatt retning fra Solen.

Ofte i astronomisk sammenheng er flere enn ett himmellegeme i bunden bevegelse om en sentral masse. Da er det vanligvis nyttig å kunne beskrive hvor lang tid ett av disse behøver for å komme tilbake til samme posisjon i forhold til ett av de andre legemene i samme system. På denne måten kan en synodisk omløpstid defineres. For vårt eget solsystem er denne perioden for eksempel lik med tiden mellom hver gang en ytre planet som Mars og Jorden er i opposisjon med hverandre. For en indre planet som Venus kan det være tiden mellom to konjunksjoner der planeten forsvinner bak Solen. I begge disse tilfellene befinner både planeten, Solen og Jorden seg på samme, rette linje.

Den synodiske perioden er lettere å bestemme enn den sideriske da den kan finnes ved direkte observasjoner. Det vil gi resultat som varierer litt fra gang til gang da de forskjellige banebevegelsene vanligvis ikke er helt regelmessige i gravitasjonelt bundne system. I motsetning til sideriske omløpstider som er tilnærmet konstante, er de synodiske periodene derfor gjennomsnittsverdier.

Månen går rundt Jorden med en siderisk omløpstid på 27 gjennomsnittlige soldager, 7 timer og 43 minutt og måles relativt til fiksstjernene. Når omløpstiden måles i forhold til Solens posisjon, vil den etter en rundgang være litt lengre da Solen i mellomtiden har flyttet seg litt. Det resulterer i en synodisk omløpstid på 29 dager, 12 timer og 44 minutt som er litt mindre enn en gjennomsnittlig måned. Denne perioden er nå den samme som for eksempel mellom to fullmåner da disse inntrer når Månen passerer linjen mellom Solen og Jorden.

Matematisk sammenheng

To planeter A  og B  i sirkulær bevegelse om en sentral sol.

For eksakt sirkulære baner rundt en sentral masse eksisterer det en matematisk relasjon mellom den sideriske og den synodiske perioden. Denne sammenhengen kan føres tilbake til Kopernikus. Hvis planet A  befinner seg utenfor planet B , vil den sideriske omløpstiden P_A  til A  være større enn den til B . Det betyr at vinkelfrekvensen ω_A = 2π /P_A  < ω_B.

Man kan nå definere en synodisk omløpstid S  for de to planetene fra et tidspunkt der de ligger på samme linje gjennom sentralmassen. Hvis nå A  ikke beveget seg, ville de igjen være på samme linje når Sω_B = 2π. Men i virkeligheten har A  i mellomtiden flyttet seg et stykke Sω_A. Dermed er den synodiske omløpstiden bestemte ved ligningen Sω_B = 2π + Sω_A  eller

${1 \over S}={1 \over P_{B}}-{1 \over P_{A}}$

For planeter i vårt eget solsystem vil Jorden med siderisk periode E  være i en bane som tilsvarer A  når vi betrakter en indre planet som B. Har denne en siderisk periode P, vil dens synodiske periode nå være bestemt ved sammenhengen

${1 \over S}={1 \over P}-{1 \over E}$

På tilsvarende vis når vi observerer en ytre planet, vil vi befinne oss i en bane som tilsvarer B. Den ytre planeten A  vil nå bli tilskrevet en synodisk omløpstid gitt ved

${1 \over S}={1 \over E}-{1 \over P}$

hvor nå P  er dens sideriske omløpstid. De synodiske periodene som følger fra disse sammenhengene, stemmer godt overens med de observerte i vårt eget solsystem. Her beveger ikke planetene seg i eksakte sirkler, men de fleste banene har svært liten eksentrisitet.

Omløpstider i Solsystemet

	Siderisk omløpstid		Synodisk omløpstid
	(år)	(dager)	(år)	(dager)
Merkur	0,241	87,969	0,317	115,8776
Venus	0,615	224,6997	1,599	583,9214
Jorden	1,0	365,2422	—	—
Månen	0,0748	27,3217	0,0809	29,5306
Mars	1,881	686,9799	2,135	779,9643
Ceres	4,600	1 680	1,278	466,7
Jupiter	11,87	4 332,589	1,092	398,8613
Saturn	29,45	10 759,23	1,035	378,0944
Uranus	84,07		1,012	369,654
Neptun	164,9		1,006	367,486
Pluto	248,1		1,004	366,7
Eris	557		1,002	365,9
90377 Sedna	12050		1,00001	365,1

Andre omløpstider

Baneplanet til en planet danner en vinkel med ekliptikken. Det gir opphav til to knutepunkter. Da banen ikke er en eksakt sirkel, har den også to apsepunkt hvor den er nærmest og lengst borte fra Solen.

Når man har to eller flere himmellegemer i bevegelse rundt en sentral masse, vil de påvirke hverandre slik at det vanligvis oppstår andre periodiske fenomen i tillegg til deres sideriske og synodiske omløpstider. De er av betydning for en mer nøyaktig beskrivelse av egenskapene til slike bundne system.

• Drakonisk periode er tiden som går mellom to påfølgende passasjer som et himmellegeme gjør gjennom sin oppadstigende knute, punktet der banen krysser ekliptikken fra den sørlige til den nordlige himmelhalvkulen. Denne perioden er ulik den sideriske fordi knutene flytter seg vanligvis sakte under påvirkning fra de andre legemene. Måneformørkelser kan skje når fullmånen er nær et knutepunkt, mens solformørkelser kan opptre når nymånen er nær et slikt punkt i banen.

• Anomalistisk periode er den tiden som går mellom to påfølgende passeringer gjennom perihel til himmellegemet, det punktet i banen hvor det er nærmest Solen. Det beveger seg der med størst hastighet. På tilsvarende vis som den langsomme flyttingen av knutelinjen, vil apselinjen som forbinder perihel med aphel, bevege seg litt slik at også denne omløpstiden er litt forskjellig fra den sideriske.

• Tropisk periode er tiden som går mellom to påfølgende passasjer av himmellegemet gjennom referansepunktet som har rektasensjon null. Vanligvis er dette vårjevndøgnspunktet ♈︎. Da begge jevndøgnspunktene gjennomgår en langsom presesjon, er denne perioden litt kortere enn den sideriske omløpstiden.

Dobbeltstjerner

To stjerner i Kepler-bevegelse om deres felles massesenter.

En dobbeltstjerne består av to stjerner med masser M₁ og M₂ som beveger seg om hverandre i et bundet system som blir holdt sammen av tyngdekraften mellom dem. Deres posisjoner kan angis ved vektorer r₁ og r₂ som begge varierer med tiden. Newtons gravitasjonslov gir nå bevegelsesligningen

$M_{1}{d^{2}\mathbf {r} _{1} \over dt^{2}}=-GM_{1}M_{2}{\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} \over |\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}$

og den tilsvarende for r₂ . Ved å ta differansen mellom disse to ligningene, fremkommer

${d^{2}\mathbf {r} \over dt^{2}}=-GM{\mathbf {r} \over r^{3}}$

hvor r = r₁ - r₂ er den relative avstanden mellom stjernene og M = M₁ + M₂ er deres totale masse. Denne ene ligningen ligger til grunn for utledning av Keplers lover. Den tredje av disse gir den sideriske omløpstiden som

$T^{2}={4\pi ^{2}a^{3} \over GM}$

der a  er den store halvaksen i den tilsvarende ellipsebanen. Denne ellipsen er banen til den ene stjernen når den observeres fra den andre som samtidig er i bevegelse.

Alternativt kan man beskrive bevegelsen til de to stjernene i deres massesenter. Velges det som origo, er det nå gitt som

$M_{1}\mathbf {r} _{1}+M_{2}\mathbf {r} _{2}=0$

Dermed blir både r₁ og r₂ proporsjonale med den relative avstanden r. Hver av stjernene vil nå beskrive sin egen ellipsebane med store halvakser a₁ og a₂. Omløpstidene i de to banene er den samme som før da M₁a₁ = M₂a₂. Dermed utgjør summen a = a₁ + a₂ halvaksen i den relative ellipsen.

Se også

• Geostasjonær bane