Ligninger for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor

Ligninger for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor er matematiske sammenhenger fra fluiddynamikken som må løses for å finne Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor. Ligningene er basert på eksperimentelle data og teori for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor. Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor er en dimensjonsløs størrelse som brukes i Darcy-Weisbachs ligning for å beregne friksjonstap i rør eller kanaler, samt også for strøming i åpen kanal. Friksjonstap vil si det samme som trykkfall eller redusert fallhøyde. Faktoren er også kjent som Weisbachs friksjonsfaktor eller Moodys friksjonsfaktor, og er fire ganger større enn Fannings friksjonsfaktor.

Ligningene for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor søker å gi en mest mulig nøyaktig beregning av falltapet, gitt forholdene. Om stor grad av nøyaktighet ikke er nødvendig kan Moodys diagram også brukes, noe som er betydelig enklere.

Strømningsregimer

Hvilken formel for friksjonsfaktoren som bør komme til anvendelse avhengig av strømningstypen for veskestrømmen som studeres:

• Laminær strømining
• Overgang mellom laminær og turbulent strømning
• Fullt utviklet turbulent strømning i glatte rør
• Fullt utviklet turbulent strømning i ru rør
• Strømning med fri overflate (for eksempel åpen kanal eller ikke fullstendig fylt rør).

Laminær strømning

Darcys friksjonsfaktor for laminær strømning i et sirkulært rør (Reynoldstall mindre enn 2100), er gitt ved følgende formel:

$f={\frac {64}{\mathrm {Re} }}$

der:

• f er Darcys friksjonsfaktor
• Re er Reynoldstall.

Transiente strømning

Overgangen (hverken helt laminær eller fullstendig turbulent) strømning finner sted i området der Reynoldstall ligger mellom 2300 og 4000. Verdien av Darcys friksjonsfaktor kan være gjenstand for store usikkerheter i dette strømningsregime.

Turbulent strømning i glatte rør

Blasius-korrelasjon er den enkleste ligningen for beregning av Darcy-Weisbachs friksjonfaktor. I Blasius-korrelasjonen inngår ikke noe begrep for rør-ruhet, den er derfor gyldig bare for glatte rør. Imidlertid brukes Blasius-korrelasjon noen ganger i sammenheng med ru rør på grunn av sin enkle form. Blasius-korrelasjon er gyldig opp til Reynolds-tall 100 000.

Turbulent strømning i ru rør

Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor for fullt utviklet turbulent strømning (Reynolds tall større enn 4000) i ru rør er gitt ved Colebrook-ligningen.

Fri overflatestrømning

Den siste formelen i Cole-ligningen i denne artikkelen er for strømning med fri overflate. Approksimasjonene andre steder i denne artikkelen er ikke aktuelt for denne type strømning.

Valg av formel

Før det velges formel det er verdt å kjenne til at i Moodys diagram er nøyaktigheten omtrent ± 5 % for glatte rør og ±10 % for ru rør. Hvis mer enn én formel er anvendelig i strømningsregimet som er under vurdering, kan valget av formel bli påvirket av en eller flere av de følgende forhold:

• Nødvendig presisjon
• Hastighet for utregningen
• Tilgjengelig teknologi for beregningen:
  • kalkulator (minimere tastetrykk)
  • regneark (encellede formler)
  • programmering/skriptspråk (subrutine).

Kompakte former

Colebrook-ligningen er en implisitt ligning som kombinerer eksperimentelle resultater fra studier av turbulent strømning i glatte og ru rør. Den ble utviklet i 1939 av C. F. Colebrook. Artikkelen fra 1937 av C. F. Colebrook og C. M. White blir begge ofte feilaktig oppgitt som kilde til ligningen. Dette er delvis fordi Cole i en fotnote (i hans artikkel fra 1939) erkjenner sin gjeld til White for å foreslå den matematiske metoden som den glatte og ru rørkorrelasjoner kan kombineres med. Ligningen brukes iterativt for å løse ut Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor kjent som f. Denne ligningen er også kjent som Colebrook-White ligningen.

For rørledninger helt full av væske og med Reynolds-tall større enn 4000, er f definert som:

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log _{10}\left({\frac {\varepsilon }{3,7D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2,51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)$

hvor:

• Log₁₀ Logaritme med 10 som grunntall
• $\varepsilon$ er trykkhøydetap på grunn av kanalens ruhet [m]
• D er hydraulisk diameter av kanalen (for et rør med sirkulært tverrsnitt, tilsvarer dette den indre diameter av røret) [m]

De andre faktorene er de samme som definert over.

En kan løse Cole-ligningen ved iterasjon ved hjelp av Newtons metode. Et eksempel er gitt i den eksterne lenken helt nede i artikkelen.

Utvidede formler

Som en alternativ metode kan matematisk ekvivalente former av Cole-White ligningen brukes:

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=1,7384\ldots -2\log _{10}\left({\frac {2\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {18,574}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)$

der:

1,7384... = 2 log (2 × 3,7) = 2 log (7,4)

18,574 = 2,51 × 3,7 × 2

og

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=1,1364\ldots +2\log _{10}(D_{\mathrm {h} }/\varepsilon )-2\log _{10}\left(1+{\frac {9,287}{\mathrm {Re} (\varepsilon /D_{\mathrm {h} }){\sqrt {f}}}}\right)$

eller

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=1,1364\ldots -2\log _{10}\left({\frac {\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {9,287}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)$

der:

1,1364... = 1,7384... − 2 log (2) = 2 log (7,4) − 2 log (2) = 2 log (3,7)

9,287 = 18,574 / 2 = 2,51 × 3,7.

De ekstra ekvivalente formene ovenfor forutsetter at konstantene 3,7 og 2,51 i formelen i begynnelsen av dette avsnittet er nøyaktig. Konstantene er trolig verdier som ble avrundet av Cole under hans kurvetilpasning, men de gir mulighet for eksakt behandling når en sammenligner resultater (med flere desimaler) fra eksplisitte formler (slik som de som finnes andre steder i denne artikkelen) for friksjonsfaktoren beregnet via Colebrooks implisitte ligning.

Ligninger lik de alternative formene ovenfor (med konstantene avrundet til færre desimaler, eller kanskje litt forskjøvet for å minimalisere total avrundingsfeil) kan bli funnet i en rekke referanser. Det kan være nyttig å merke seg at de i hovedsak er den samme ligningen.

Fri overflatestrømning

En annen form for Colebrook-White ligningen foreligger for strømning med fri overflate. En slik tilstand kan som nevnt finnes i et rør som er delvis fylt av væske. Fri overflatestrøm:

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log _{10}\left({\frac {\varepsilon }{12R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2,51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right).$

Approksimasjoner av Colebrook ligningen

Haaland ligningen

Haaland ligningen ble foreslått av professor S. E. Haaland ved Norges tekniske høgskole i 1984. Den brukes til å løse ut direkte for Darcy-Weisbach friksjonsfaktor f for et fylt sirkulært rør. Ligningen er en tilnærming til den implisitte Colebrook-White ligningen, men avviket fra eksperimentelle data er godt innenfor nøyaktigheten av dataene.

Haaland ligningen er definert som:

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-1,8\log _{10}\left[\left({\frac {\varepsilon /D}{3,7}}\right)^{1,11}+{\frac {6,9}{\mathrm {Re} }}\right]$

der parametrene er de samme som definnert over.

Swamee-Jain ligning

Swamee-Jain ligning brukes til å løse direkte ut for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor f for et fylt sirkulære rør. Det er en tilnærming til den implisitte Colebrook-White ligningen.

$f=0,25\left[\log _{10}\left({\frac {\varepsilon }{3,7D}}+{\frac {5,74}{\mathrm {Re} ^{0,9}}}\right)\right]^{-2}$

hvor parametrene er de samme som definnert over.

Serghides løsning

Serghides løsning brukes til å løse ut direkte for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor f for et fylt sirkulært rør. Det er en tilnærming til den implisitte Colebrook-White ligningen. Det ble avledet med Steffensen metode.

Løsningen innebærer beregning av tre mellomliggende verdier og deretter erstatte disse verdiene i en endelig ligning.

$A=-2\log _{10}\left({\varepsilon \over 3,7D}+{12 \over {\mbox{Re}}}\right)$

$B=-2\log _{10}\left({\varepsilon \over 3,7D}+{2,51A \over {\mbox{Re}}}\right)$

$C=-2\log _{10}\left({\varepsilon \over 3,7D}+{2,51B \over {\mbox{Re}}}\right)$

$f=\left(A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}\right)^{-2}$

hvor parametrene er de samme som definnert over.

Denne ligningen ble funnet å gi samme resultat som Colebrook-White ligningen innenfor en feilmargin på 0,0023 % med en test satt med en 70-punkts matrise som bestod av ti verdier for relative ruhet (i området 0,00004 til 0,05) med forsøk med syv forskjellige Reynolds tall (fra 2500 til 10 ⁸).

Goudar-Sonnad ligningen

Goudar ligningen er den mest nøyaktige tilnærming for å løse direkte ut for Darcy-Weisbach friksjonsfaktor f for et fylt sirkulære rør. Det er en tilnærming til den implisitte Colebrook-White ligningen. Ligning har følgende form:

$a={2 \over \ln(10)}$

$b={\varepsilon /D \over 3,7}$

$d={\ln(10)Re \over 5,02}$

$s={bd+\ln(d)}$

$q={{s}^{s/(s+1)}}$

$g={bd+\ln {d \over q}}$

$z={\ln {q \over g}}$

$D_{LA}=z{g \over {g+1}}$

$D_{CFA}=D_{LA}\left(1+{\frac {z/2}{(g+1)^{2}+(z/3)(2g-1)}}\right)$

${\frac {1}{\sqrt {f}}}={a\left[\ln \left({\frac {d}{q}}\right)+D_{CFA}\right]}$

hvor parametrene er de samme som definnert over.

Brkić løsning

Brkić har vist en tilnærming av Cole ligningen basert på Lambert W-funksjon:

$S=ln{\frac {Re}{\mathrm {1,816ln{\frac {1,1Re}{\mathrm {ln(1+1,1Re)} }}} }}$

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log _{10}\left({\varepsilon /D \over 3,71}+{2,18S \over {\mbox{Re}}}\right)$

hvor parametrene er de samme som definnert over.

Blasius korrelasjoner

Tidlige tilnærmelser av Paul Richard Heinrich Blasius i form av Moodys friksjonsfaktor er gitt i en artikkel fra 1913:

$f=0,316\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}$

Johann Nikuradse foreslo i 1932 at dette svarer til en Potenslov-korrelasjon for fluidhastighetsprofilet.

I 1979 foreslo Mishra og Gupta en korreksjon for buede eller spiralformet kveilede rør som tar hensyn til ekvivalente kurveradius, R_c:

$f=0,316\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}+0,0075{\sqrt {\frac {D}{2R_{c}}}}$,

med

$R_{c}=R\left[1+\left({\frac {H}{2\pi R}}\right)^{2}\right]$

• H [m] er spiralbanens (det kveilede rørets) stigning. Alle de andre parametrene er de samme som definert tidligere. Formlene er gyldig for:
• Re_tr < Re < 10⁵
• 6,7 < 2R_c/D < 346,0
• 0 < H/D < 25,4

Tabell for approksimasjoner

Tabellen under lister opp historiske approksimasjoner:

• Re er Reynoldstall (dimensjonsløst tall)
• f er Darcy-Weisbach friksjonsfaktor (dimensjonsløs)
• ε er ruheten av rørets flater (spesifikt)
• D er indre rør diameter;
• $\log(x)$ logaritmen med 10 som grunntall.

Merk at Churchill-ligningen (1977) er den eneste som gir en korrekt verdi for friksjonsfaktoren i det laminære strømningsområde (Reynolds tall < 2300). Alle de andre er bare for overgangs- og turbulent strømning.

Table of Colebrook equation approximations

Equation	Author	Year
$f=0,0055(1+(2\times 10^{4}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}+{\frac {10^{6}}{Re}})^{\frac {1}{3}})$	Moody	1947
$f=0,094({\frac {\varepsilon }{D}})^{0,225}+0,53({\frac {\varepsilon }{D}})+88({\frac {\varepsilon }{D}})^{0,44}\cdot {Re}^{-{\Psi }}$ hvor $\Psi =1,62({\frac {\varepsilon }{D}})^{0,134}$	Wood	1966
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log({\frac {\varepsilon }{3,715D}}+{\frac {15}{Re}})$	Eck	1973
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log({\frac {\varepsilon }{3,7D}}+{\frac {5,74}{Re^{0,9}}})$	Jain and Swamee	1976
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log(({\frac {\varepsilon }{3,71D}})+({\frac {7}{Re}})^{0,9})$	Churchill	1973
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log(({\frac {\varepsilon }{3,715D}})+({\frac {6,943}{Re}})^{0,9}))$	Jain	1976
$f=8[({\frac {8}{Re}})^{12}+{\frac {1}{(\Theta _{1}+\Theta _{2})^{1,5}}})]^{\frac {1}{12}}$ where $\Theta _{1}=[-2,457\ln[({\frac {7}{Re}})^{0,9}+0,27{\frac {\varepsilon }{D}}]]^{16}$ $\Theta _{2}=({\frac {37530}{Re}})^{16}$	Churchill	1977
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log[{\frac {\varepsilon }{3,7065D}}-{\frac {5,0452}{Re}}\log({\frac {1}{2,8257}}({\frac {\varepsilon }{D}})^{1,1098}+{\frac {5,8506}{Re^{0,8981}}})]$	Chen	1979
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=1,8\log[{\frac {Re}{0,135Re({\frac {\varepsilon }{D}})+6,5}}]$	Round	1980
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{3,7D}}+{\frac {5,158log({\frac {Re}{7}})}{Re\left(1+{\frac {Re^{0,52}}{29}}({\frac {\varepsilon }{D}})^{0,7}\right)}}\right)$	Barr	1981
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log[{\frac {\varepsilon }{3,7D}}-{\frac {5,02}{Re}}\log({\frac {\varepsilon }{3,7D}}-{\frac {5,02}{Re}}\log({\frac {\varepsilon }{3,7D}}+{\frac {13}{Re}}))]$ or ${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log[{\frac {\varepsilon }{3,7D}}-{\frac {5,02}{Re}}\log({\frac {\varepsilon }{3,7D}}+{\frac {13}{Re}})]$	Zigrang and Sylvester	1982
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-1,8\log \left[\left({\frac {\varepsilon }{3,7D}}\right)^{1,11}+{\frac {6,9}{Re}}\right]$	Haaland	1983
$f=[\Psi _{1}-{\frac {(\Psi _{2}-\Psi _{1})^{2}}{\Psi _{3}-2\Psi _{2}+\Psi _{1}}}]^{-2}$ or $f=[4,781-{\frac {(\Psi _{1}-4,781)^{2}}{\Psi _{2}-2\Psi _{1}+4,781}}]^{-2}$ where $\Psi _{1}=-2\log({\frac {\varepsilon }{3,7D}}+{\frac {12}{Re}})$ $\Psi _{2}=-2\log({\frac {\varepsilon }{3,7D}}+{\frac {2,51\Psi _{1}}{Re}})$ $\Psi _{3}=-2\log({\frac {\varepsilon }{3,7D}}+{\frac {2,51\Psi _{2}}{Re}})$	Serghides	1984
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log({\frac {\varepsilon }{3,7D}}+{\frac {95}{Re^{0,983}}}-{\frac {96,82}{Re}})$	Manadilli	1997
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \lbrace {\frac {\varepsilon }{3,7065D}}-{\frac {5,0272}{Re}}\log[{\frac {\varepsilon }{3,827D}}-{\frac {4,657}{Re}}\log(({\frac {\varepsilon }{7,7918D}})^{0,9924}+({\frac {5,3326}{208,815+Re}})^{0,9345})]\rbrace$	Monzon, Romeo, Royo	2002
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=0,8686\ln[{\frac {0,4587Re}{(S-0,31)^{\frac {S}{(S+1)}}}}]$ hvor: $S=0,124Re{\frac {\varepsilon }{D}}+\ln(0,4587Re)$	Goudar, Sonnad	2006
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=0,8686\ln[{\frac {0,4587Re}{(S-0,31)^{\frac {S}{(S+0,9633)}}}}]$ hvor: $S=0,124Re{\frac {\varepsilon }{D}}+\ln(0,4587Re)$	Vatankhah, Kouchakzadeh	2008
${\frac {1}{\sqrt {f}}}=\alpha -[{\frac {\alpha +2\log({\frac {\mathrm {B} }{Re}})}{1+{\frac {2.18}{\mathrm {B} }}}}]$ where $\alpha ={\frac {(0,744\ln(Re))-1,41}{(1+1,32{\sqrt {\frac {\varepsilon }{D}}})}}$ $\mathrm {B} ={\frac {\varepsilon }{3,7D}}Re+2,51\alpha$	Buzzelli	2008
$f={\frac {6,4}{(\ln(Re)-\ln(1+0,01Re{\frac {\varepsilon }{D}}(1+10{\sqrt {\frac {\varepsilon }{D}}})))^{2,4}}}$	Avci, Kargoz	2009
$\lambda ={\frac {0,2479-0,0000947(7-\log Re)^{4}}{(\log({\frac {\varepsilon }{3,615D}}+{\frac {7,366}{Re^{0,9142}}}))^{2}}}$	Evangleids, Papaevangelou, Tzimopoulos	2010

Type nummerering

Litteratur

• Colebrook, C.F. (februar 1939). «Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws». Journal of the Institution of Civil Engineers. London. doi:10.1680/ijoti.1939.13150. 
  For the section which includes the free-surface form of the equation – «Computer Applications in Hydraulic Engineering» (5th utg.). Haestad Press. 2002. , p. 16.
• Haaland, SE (1983). «Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Flow». Journal of Fluids Engineering. ASME. 105 (1): 89–90. doi:10.1115/1.3240948. 
• Swamee, P.K.; Jain, A.K. (1976). «Explicit equations for pipe-flow problems». Journal of the Hydraulics Division. ASCE. 102 (5): 657–664. 
• Serghides, T.K (1984). «Estimate friction factor accurately». Chemical Engineering. 91 (5): 63–64.  – Serghides' solution is also mentioned here.
• Moody, L.F. (1944). «Friction Factors for Pipe Flow». Transactions of the ASME. 66 (8): 671–684. 
• Brkić, Dejan (2011). «Review of explicit approximations to the Colebrook relation for flow friction». Journal of Petroleum Science and Engineering. 77 (1): 34–48. doi:10.1016/j.petrol.2011.02.006. 
• Brkić, Dejan (2011). «W solutions of the CW equation for flow friction». Applied Mathematics Letters. 24 (8): 1379–1383. doi:10.1016/j.aml.2011.03.014. 

Eksterne lenker

• Web-based calculator of Darcy friction factors by Serghides' solution.
• Métodos Numéricos con C #