Kildeløs : Denne artikkelen mangler
kildehenvisninger , og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å
verifisere . Kildeløst materiale kan bli
fjernet . Helt uten kilder.
(10. okt. 2015 )
Kvadratkomplettering Kvadratkomplettering er en teknikk i algebra med det grunnleggende formål å redusere en variabel med et polynom av annen grad i en ligning eller i et matematisk uttrykk, slik at det fremkommer et lineært polynomisk uttrykk i annen potens . Med andre ord vil det si å skrive et andregradspolynom (polynom av andre grad) på kvadratisk form. På denne måten blir det i mange sammenhenger lettere å løse bestemte ligninger. Teknikken brukes blant annet for å løse andregradsligninger .
Et andregradspolynom blir skrevet på kvadratisk form:
x
2
+
p
x
+
q
=
(
x
+
p
2
)
2
−
(
p
2
)
2
+
q
{\displaystyle x^{2}+px+q=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q}
Ved hjelp av en av kvadratsetningene utvikler vi leddet på høyre side i ligningen overfor og viser at dette er lik ligningens venstreledd:
(
x
+
p
2
)
2
−
(
p
2
)
2
+
q
=
x
2
+
2
⋅
p
x
2
+
(
p
2
)
2
−
(
p
2
)
2
+
q
=
x
2
+
p
x
+
q
.
{\displaystyle \left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q\ =x^{2}+2\cdot {\frac {px}{2}}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q=x^{2}+px+q.}
Ved kvadratkomplettering omformes altså et andregradspolynom til et kvadrert lineært polynom og en konstant. Det betyr at et polynom av formen
a
x
2
+
b
x
{\displaystyle ax^{2}+bx\,\!}
endres til et av formen
(
c
x
+
d
)
2
+
e
{\displaystyle (cx+d)^{2}+e\,\!}
Legg merke til at koeffisientene a , b , c , d og e overfor selv kan være matematiske uttrykk og inneholde andre variabler enn x .
For
a
x
2
+
b
x
=
(
c
x
+
d
)
2
+
e
{\displaystyle ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e\,\!}
har vi
c
=
a
{\displaystyle c={\sqrt {a}}\,\!}
d
=
b
2
a
{\displaystyle d={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\,\!}
e
=
−
d
2
=
−
(
b
2
a
)
2
{\displaystyle e=-d^{2}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\,\!}
eller
a
x
2
+
b
x
=
(
x
a
+
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
{\displaystyle ax^{2}+bx=\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\,\!}
Et meget enkelt eksempel er:
x
2
+
4
x
=
x
2
+
4
x
+
4
−
4
=
(
x
+
2
)
2
−
4
{\displaystyle x^{2}+4x=x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4\,\!}
Et annet enkelt eksempel er å finne røttene av:
x
2
+
6
x
−
16
=
0
x
2
+
6
x
=
16
x
2
+
6
x
+
(
6
2
)
2
=
16
+
(
6
2
)
2
∗
x
2
+
6
x
+
9
=
16
+
9
(
x
+
3
)
2
=
25
(
x
+
3
)
=
25
x
+
3
=
±
5
x
=
±
5
−
3
x
=
−
8
,
2
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+6x-16&=&0&\\x^{2}+6x&=&16&\\x^{2}+6x+({\frac {6}{2}})^{2}&=&16+({\frac {6}{2}})^{2}&*\\x^{2}+6x+9&=&16+9&\\(x+3)^{2}&=&25&\\(x+3)&=&{\sqrt {25}}&\\x+3&=&\pm 5&\\x&=&\pm 5-3&\\x&=&-8,2&\\\end{matrix}}}
* kvadratkompletteringen
Si at man vil finne løsningen av ligningen
x
2
+
3
x
−
4
=
0
{\displaystyle x^{2}+3x-4=0}
x
2
+
3
x
−
4
=
(
x
+
3
2
)
2
−
(
3
2
)
2
−
4
=
(
x
+
3
2
)
2
−
25
4
{\displaystyle x^{2}+3x-4=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}-4=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {25}{4}}}
sett overforstående lik null og løs:
(
x
+
3
2
)
2
−
25
4
=
0
⇔
(
x
+
3
2
)
2
=
25
4
⇔
x
+
3
2
=
±
5
2
⇔
x
=
−
3
2
±
5
2
⇔
x
=
1
e
l
l
e
r
x
=
−
4
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {25}{4}}=0\\&{}\Leftrightarrow \left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}={\frac {25}{4}}\\&{}\Leftrightarrow x+{\frac {3}{2}}=\pm {\frac {5}{2}}\\&{}\Leftrightarrow x=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {5}{2}}\\&{}\Leftrightarrow x=1~~\mathrm {eller} ~~x=-4\end{aligned}}}
Betrakt problemer med å finne følgende integral :
∫
d
x
9
x
2
−
90
x
+
241
{\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}\,\!}
Det kan gjøres ved hjelp av kvadratkomplettering av nevneren . Nevneren er
9
x
2
−
90
x
+
241
=
9
(
x
2
−
10
x
)
+
241
{\displaystyle 9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241\,\!}
Når kvadratet kompletteres ved å legge (10/2)² = 25 til x ² - 10x fås det perfekte kvadratet x ² - 10x + 25 = (x - 5)². Derfor fås:
9
(
x
2
−
10
x
)
+
241
=
9
(
x
2
−
10
x
+
25
)
+
241
−
9
(
25
)
=
9
(
x
−
5
)
2
+
16
{\displaystyle 9(x^{2}-10x)+241=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^{2}+16\,\!}
Dermed er integralet
∫
d
x
9
x
2
−
90
x
+
241
=
1
9
∫
d
x
(
x
−
5
)
2
+
(
4
/
3
)
2
=
1
9
⋅
3
4
arctan
3
(
x
−
5
)
4
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}={\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{(x-5)^{2}+(4/3)^{2}}}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C\,\!}
Som en generalisering av eksempel 2, kan røttene av
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle x^{2}+bx+c=0\,\!}
finnes ved å omforme ligningen slik at x og x2 ikke lengre opptre. For å klare dette kompletteres kvadratet: ta halvdelen av koeffisienten til x , kvadrer den og legg den til på begge sider av likhetstegnet på følgende måte:
x
2
+
b
x
+
c
=
0
x
2
+
b
x
=
−
c
x
2
+
b
x
+
(
b
2
)
2
=
−
c
+
(
b
2
)
2
∗
(
x
+
b
2
)
2
=
(
b
2
)
2
−
c
(
x
+
b
2
)
=
±
(
b
2
)
2
−
c
x
=
−
b
2
±
(
b
2
)
2
−
c
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+bx+c&=&0&\\x^{2}+bx&=&-c&\\x^{2}+bx+({\frac {b}{2}})^{2}&=&-c+({\frac {b}{2}})^{2}&*\\(x+{\frac {b}{2}})^{2}&=&({\frac {b}{2}})^{2}-c&\\(x+{\frac {b}{2}})&=&\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}&\\x&=&-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}&\end{matrix}}}
* kvadratkomplettering
Eksempel 5 kan generaliseres ytterligere til å finne løsningene av den generelle andregradsligningen
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}
ettersom det først foretas kvadratkomplettering slik:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
2
+
b
x
a
)
+
c
=
a
(
x
2
+
b
x
a
+
(
b
2
4
a
2
−
b
2
4
a
2
)
)
+
c
=
a
(
x
2
+
b
x
a
+
(
b
2
a
)
2
)
−
a
b
2
4
a
2
+
c
=
a
(
x
2
+
2
b
x
2
a
+
(
b
2
a
)
2
)
−
a
b
2
4
a
2
+
c
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
−
a
b
2
4
a
2
+
c
{\displaystyle {\begin{matrix}ax^{2}+bx+c&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=&a\left(x^{2}+2{\frac {bx}{2a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=&a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\end{matrix}}\,\!}
hvorav
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
x
+
b
2
a
=
±
b
2
4
a
2
−
c
a
x
=
±
b
2
4
a
2
−
c
a
−
b
2
a
=
±
4
a
2
(
b
2
4
a
2
−
c
a
)
2
a
−
b
2
a
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle {\begin{matrix}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=&{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=&\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x&=&\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}-{\frac {b}{2a}}\\&=&{\frac {\pm {\sqrt {4a^{2}({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}})}}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\\&=&{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{matrix}}\,\!}
Betrakt uttrykket
|
z
|
2
−
b
∗
z
−
b
z
∗
+
c
,
{\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,\,}
der
z
{\displaystyle z}
b
{\displaystyle b}
komplekse tall ,
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
b
∗
{\displaystyle b^{*}}
z
{\displaystyle z}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
reelt tall . Dette kan uttrykkes på denne måten:
|
z
−
b
|
2
−
|
b
|
2
+
c
,
{\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,\,}
som klart er en virkelig mengde. Det er den fordi
|
z
−
b
|
2
=
(
z
−
b
)
(
z
−
b
)
∗
=
(
z
−
b
)
(
z
∗
−
b
∗
)
=
z
z
∗
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
b
b
∗
=
|
z
|
2
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
|
b
|
2
{\displaystyle {\begin{matrix}|z-b|^{2}&=&(z-b)(z-b)^{*}\\&=&(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&=&zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&=&|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}\end{matrix}}}
På samme måte kan uttrykket
a
x
2
+
b
y
2
+
c
,
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,\,}
der
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
b
{\displaystyle b}
y
{\displaystyle y}
c
{\displaystyle c}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
b
>
0
{\displaystyle b>0}
z
=
a
x
+
i
b
y
,
{\displaystyle z={\sqrt {a}}x+i{\sqrt {b}}y,}
slik
|
z
|
2
=
z
z
∗
=
(
a
x
+
i
b
y
)
(
a
x
−
i
b
y
)
=
a
x
2
−
i
a
b
x
y
+
i
b
a
y
x
−
i
2
b
y
2
=
a
x
2
+
b
y
2
{\displaystyle {\begin{matrix}|z|^{2}&=&zz^{*}\\&=&({\sqrt {a}}x+i{\sqrt {b}}y)({\sqrt {a}}x-i{\sqrt {b}}y)\\&=&ax^{2}-i{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}xy+i{\sqrt {b}}{\sqrt {a}}yx-i^{2}by^{2}\\&=&ax^{2}+by^{2}\end{matrix}}}
, noe som gir
a
x
2
+
b
y
2
+
c
=
|
z
|
2
+
c
.
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.\,}
Med kvadratkomplettering kan man lokalisere andregradspolynomets minste verdi :
x
2
+
p
x
+
q
=
(
x
+
p
2
)
2
⏟
≥
0
+
(
q
−
(
p
2
)
2
)
≥
q
−
(
p
2
)
2
.
{\displaystyle x^{2}+px+q=\underbrace {\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}} _{\geq 0}+\left(q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\right)\geq q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}.}
Denne ulikheten viser at den minste verdien
q
−
(
p
/
2
)
2
{\displaystyle q-(p/2)^{2}}
x er lik tallet
−
p
/
2
{\displaystyle -p/2}
Kvadratkomplettering kan også brukes på andre måter, eksempelvis for å skrive om følgende eksempel:
x
2
+
2
x
y
=
(
x
+
y
)
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}+2xy=(x+y)^{2}-y^{2}\,}
x
2
+
y
2
=
(
x
+
y
)
2
−
2
x
y
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy\,}
