Kvadratkomplettering

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk
Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering er en teknikk i algebra med det grunnleggende formål å redusere en variabel med et polynom av annen grad i en ligning eller i et matematisk uttrykk, slik at det fremkommer et lineært polynomisk uttrykk i annen potens. Med andre ord vil det si å skrive et andregradspolynom (polynom av andre grad) på kvadratisk form. På denne måten blir det i mange sammenhenger lettere å løse bestemte ligninger. Teknikken brukes blant annet for å løse andregradsligninger.

Avledning[rediger | rediger kilde]

Et andregradspolynom blir skrevet på kvadratisk form:

.

Ved hjelp av en av kvadratsetningene utvikler vi leddet på høyre side i ligningen overfor og viser at dette er lik ligningens venstreledd:

Oversikt[rediger | rediger kilde]

Ved kvadratkomplettering omformes altså et andregradspolynom til et kvadrert lineært polynom og en konstant. Det betyr at et polynom av formen

endres til et av formen

Legg merke til at koeffisientene a, b, c, d og e overfor selv kan være matematiske uttrykk og inneholde andre variabler enn x.

Vanlig formel[rediger | rediger kilde]

For

har vi

eller

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Eksempel 1[rediger | rediger kilde]

Et meget enkelt eksempel er:

Eksempel 2[rediger | rediger kilde]

Et annet enkelt eksempel er å finne røttene av:

* kvadratkompletteringen

Eksempel 3[rediger | rediger kilde]

Si at man vil finne løsningen av ligningen . Man kan da anvende kvadratkomplettering:

sett overforstående lik null og løs:

Eksempel 4[rediger | rediger kilde]

Betrakt problemer med å finne følgende integral:

.

Det kan gjøres ved hjelp av kvadratkomplettering av nevneren. Nevneren er

.

Når kvadratet kompletteres ved å legge (10/2)² = 25 til x² - 10x fås det perfekte kvadratet x² - 10x + 25 = (x - 5)². Derfor fås:

.

Dermed er integralet

.

Eksempel 5[rediger | rediger kilde]

Som en generalisering av eksempel 2, kan røttene av

finnes ved å omforme ligningen slik at x og x2 ikke lengre opptre. For å klare dette kompletteres kvadratet: ta halvdelen av koeffisienten til x, kvadrer den og legg den til på begge sider av likhetstegnet på følgende måte:

* kvadratkomplettering

Eksempel 6 (den generelle andregradsligningen)[rediger | rediger kilde]

Eksempel 5 kan generaliseres ytterligere til å finne løsningene av den generelle andregradsligningen

ettersom det først foretas kvadratkomplettering slik:

.

hvorav

Komplekse versjoner av kvadratkomplettering[rediger | rediger kilde]

Betrakt uttrykket

der og er komplekse tall, og er de komplekse konjugasjonene av henholdsvis og , og er et reelt tall. Dette kan uttrykkes på denne måten:

som klart er en virkelig mengde. Det er den fordi

På samme måte kan uttrykket

der , , , og er reelle tall og samt , uttrykkes ved kvadratet av den absolutte verdien av et komplekst tall. Defineres

slik

, noe som gir

Bruk[rediger | rediger kilde]

Med kvadratkomplettering kan man lokalisere andregradspolynomets minste verdi:

Denne ulikheten viser at den minste verdien antas ettersom tallet x er lik tallet .

Kvadratkomplettering kan også brukes på andre måter, eksempelvis for å skrive om følgende eksempel:

Se også[rediger | rediger kilde]