Komplett metrisk rom

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

Et komplett metrisk rom, også kalt et Cauchy-rom, er et metrisk rom der alle Cauchy-følger konvergerer, og grensen er også et element i . Eksempler på komplette metriske rom er de reelle, og komplekse tallene, endelige reelle og komplekse vektorrom, Lp-rom og Sobolev-rom.

Intuitivt kan man tenke på det som et rom der ingen punkter «mangler», hverken på innsiden eller på randen. For eksempel er mengden av rasjonale tall ikke komplett – man kan for eksempel konstruere en følge av rasjonale tall som konvergerer mot , men er et irrasjonelt tall og dermed ikke inneholdt i . Det er alltid mulig å «fylle alle hullene», som gir kompletteringen av et gitt rom. Rommet bestående av de reelle tallene utgjør nøyaktig kompletteringen av .

Et komplett normert rom kalles et Banachrom, og et komplett indreproduktrom kalles et Hilbertrom.

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Kompletthet er en essensiell egenskap i Banachs fikspunktteorem og i Baires kategoriteorem.

Komplettering[rediger | rediger kilde]

La være et metrisk rom, tilordnet en metrikk , og la være et underrom av . Vi sier at er tett i dersom for alle finnes det en følge av elementer fra som konvergerer mot . Ekvivalent kan man si at er tett i hvis og bare hvis for enhver og enhver finnes det et element i slik at . For eksempel er de rasjonale tallene komplett i de reelle tallene; for ethvert tall kan vi finne en følge i som konvergerer mot .

Hvis , utgjør et rom kompletteringen av dersom er slik at[3]

  1. , er et underrom av , altså i.e. and for alle
  2. M er tett i

Ethvert metrisk rom har en kompletteringen.[4] Dette er nyttig i mange tilfeller; istedenfor å lete etter et komplett metrisk rom, kan man heller jobbe med kompletteringen, som man vet eksisterer. Imidlertid er det ikke slik at kompletteringen alltid arver alle ønskelige egenskaper. Ethvert komplett metrisk rom utgjør også sin egen komplettering.

De reelle tallene utgjør kompletteringen av ;[3] alle rasjonale tall er også reelle tall, og for ethvert reelt tall man kan konstruere en følge av rasjonale tall som konvergerer mot dette.

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Tom L. Lindstrøm (2017). Spaces: An Introduction to Real Analysis. Pure and Applied Undergraduate Texts. American Mathematical Society. ISBN 978-1-470-44062-6.