Kvadratroten av 2

Hvis katetene i en rettvinklet likebeint trekant er 1, vil hypotenusen ifølge Pythagoras’ læresetning være √2.

Kvadratroten av 2 er det tallet som gir 2 når det multipliseres med seg selv. Det er et irrasjonalt tall og symboliseres som ${\sqrt {2}}$ (se kvadratrot). Tallet har en tilnærmet verdi på 1,414 213 562 373 095 048 801 688 7… .

Bevis for irrasjonalitet

At kvadratroten av 2 er irrasjonal, kan vises ved hjelp av et kontradiksjonsbevis (som for første gang ble beskrevet av Evklid i det 3. århundre f.Kr.):

Anta at ${\sqrt {2}}$ er et rasjonalt tall. Dermed finnes det to naturlige tall, $a$ og $b$, slik at ${\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}$. Vi sier at brøken er forkortet (forenklet) så mye at det ikke går an å forenkle den mer. Om vi kvadrerer på begge sider, får vi ${\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\Rightarrow a^{2}=2b^{2}$. Vi ser at $2b^{2}$ er et partall, siden det har $2$ som faktor. Siden da også $a^{2}$ er et partall, er $a$ et partall, og vi kan skrive det som $2n$. Da får vi $(2n)^{2}=2b^{2}\Rightarrow 4n^{2}=2b^{2}$. Forkorter vi, får vi $2n^{2}=b^{2}$, og dermed må $b^{2}$ også være et partall (siden det kan skrives som produktet av et heltall og $2$), og dermed er også $b$ et partall. Men siden både $a$ og $b$ er partall, så kan faktisk brøken ${\frac {a}{b}}$ forkortes mer (siden de begge har $2$ som faktor). Og siden vi har kommet frem til en selvmotsigelse, og bare har gjort én eneste antagelse, er denne antagelsen feil. Og den antagelsen var at ${\sqrt {2}}$ var et rasjonalt tall, og siden det motsatte av dette er at ${\sqrt {2}}$ er irrasjonal, så har vi bevist at kvadratroten av $2$ er et irrasjonalt tall.

Eksterne lenker

• De første 5 millioner desimaler av kvadratroten av 2