Kvadratroten av 2

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Hvis katetene i en rettvinklet likebeint trekant er 1, vil hypotenusen ifølge Pythagoras’ læresetning være √2.

Kvadratroten av 2 er det tallet som gir 2 når det multipliseres med seg selv. Det er et irrasjonalt tall og symboliseres som (se kvadratrot). Tallet har en tilnærmet verdi på 1,414 213 562 373 095 048 801 688 7… .

Bevis for irrasjonalitet[rediger | rediger kilde]

At kvadratroten av 2 er irrasjonal, kan vises ved hjelp av et kontradiksjonsbevis (som for første gang ble beskrevet av Evklid i det 3. århundre f.Kr.):

Anta at er et rasjonalt tall. Dermed finnes det to naturlige tall, og , slik at . Vi sier at brøken er forkortet (forenklet) så mye at det ikke går an å forenkle den mer. Om vi kvadrerer på begge sider, får vi . Vi ser at er et partall, siden det har som faktor. Siden da også er et partall, er et partall, og vi kan skrive det som . Da får vi . Forkorter vi, får vi , og dermed må også være et partall (siden det kan skrives som produktet av et heltall og ), og dermed er også et partall. Men siden både og er partall, så kan faktisk brøken forkortes mer (siden de begge har som faktor). Og siden vi har kommet frem til en selvmotsigelse, og bare har gjort én eneste antagelse, er denne antagelsen feil. Og den antagelsen var at var et rasjonalt tall, og siden det motsatte av dette er at er irrasjonal, så har vi bevist at kvadratroten av er et irrasjonalt tall.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]