Kompakt operator

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

I matematikk er en kompakt operator en lineær operator , der X og Y er normerte vektorrom, slik at verdimengden til L i Y er relativ kompakt (tillukningen er kompakt).

Definisjon[rediger | rediger kilde]

La X og Y være normerte rom. En lineærtransformasjon er kompakt dersom for enhver begrenset følge i X, inneholder følgen i Y en konvergent delfølge.[1]

Ekvivalent kan en kompakt operator defineres slik: Dersom T er en lineær operator, er T kompakt hvis og bare hvis for enhver begrenset delmengde , er relativt kompakt.[2]

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

La X, Y og Y være normerte vektorrom, og og betegne mengden av henholdsvis begrensede og kompakte operatorer fra ett normert vektorrom til et annet.

Forhold til mengden av begrensede operatorer[rediger | rediger kilde]

En kompakt operator er også en begrenset operator. Mengden av kompakte operatorer er derfor inneholdt i mengden av begrensede operatorer B(X, Y). Hvis , og skalarer, så er også operatoren definert ved kompakt, og hvis og og minst en av de er kompakt, er også operatoren kompakt.[3]

Dersom X er et normert rom, Y et Banach-rom og en følge i som konvergerer til en operator er T også kompakt. Mengden av kompakte operatorer er derfor lukket i mengden av begrensede operatorer.[2]

Endelig-dimensjonale rom[rediger | rediger kilde]

Dersom T er en lineær operator endelig rang, eller dersom enten X eller Y har endelig dimensjon, er T kompakt.[4]

Verdimengden til T er separabel[rediger | rediger kilde]

Dersom T er en kompakt operator, er verdimengden (bildet) samt verdimengden til tillukningen separable.[2]

Følger av begrensede operatorer i Banach- og Hilbert-rom[rediger | rediger kilde]

Hvis X er et normert rom, Y et Banach-rom og en følge av begrensede operatorer med endelig rang, slik at konvergerer til T, er T kompakt.[5] Hvis Y i tillegg er et Hilbert-rom er det motsatte også sant: Hvis T er kompakt, finnes det en følge av begrensede operatorer med endelig rang som konvergerer til T. Dette impliserer videre at T har samme rang som sin adjungerte, og at T er kompakt hvis og bare hvis den adjungerte T* er kompakt.[6]

Referanser[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]