Greens teorem

Greens teorem gir forholdet mellom et linjeintegral langs en enkel lukket kurve C og dobbeltintegralet over planet D.

$\oint _{C}(P\,dx+Q\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA$

Bevis for Greens teorem

Først beviser vi teoremet for et rektangel R. Da vil teoremet se slik ut:

$\oint _{\partial R}Pdx+Qdy=\iint _{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy$

Ved lineariteten til Riemann-Integralet skriver vi dobbeltintegralet over R om til følgende:

$\iint _{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy=\iint _{R}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,dxdy-\iint _{R}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dxdy$

Siden R er et rektangel lar vi $R=[a,b]\times [c,d]$, betrakt først integralet:

$\iint _{R}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,dxdy=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}{\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}dxdy=\int _{c}^{d}(\int _{a}^{b}{\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}dx)dy$

Ved Fundamentalteoremet i Kalkulus ser vi at

$\int _{c}^{d}(\int _{a}^{b}{\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}dx)dy=\int _{c}^{d}(Q(b,y)-Q(a,y))dy$

Og for $-\iint _{R}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dxdy$ får vi at

$-\iint _{R}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dxdy=-\int _{a}^{b}(\int _{c}^{d}{\frac {\partial P(x,y)}{\partial y}}dy)dx=-\int _{a}^{b}(P(x,d)-P(x,c))dx$

Disse resultatene gir oss et nytt uttrykk for høyre side av det opprinnelige uttrykket vårt

$\iint _{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy=\int _{c}^{d}(Q(b,y)-Q(a,y))dy-\int _{a}^{b}(P(x,d)-P(x,c))dx$

For linjeintegralet deler vi opp rektangelet i fire linjer som åpenbart har positiv orientering.

$C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}$

Vi kan parametrisere den første kurven med

$\alpha (t)=(t,c)$ hvor $t\in [a,b]$

den andre kurven med

$\beta (t)=(b,t)$ hvor $t\in [c,d]$

den tredje kurven med

$\gamma (t)=(b+a-t,d)$ hvor $t\in [a,b]$

og til slutt:

$\delta (t)=(a,d+c-t)$ med $t\in [c,d]$

Med disse parametriseringene kan vi uttrykke linjeintegralet slik:

$\oint _{\partial R}Pdx+Qdy=\oint _{\cup _{i=1}^{4}C_{i}}Pdx+Qdy=\sum \limits _{j=1}^{4}\oint _{C_{i}}Pdx+Qdy$

Vi betrakter først

$\sum \limits _{j=1}^{4}\oint _{C_{i}}P(x,y)dx=\oint _{C_{1}}P(x,y)dx+\oint _{C_{2}}P(x,y)dx+\oint _{C_{3}}P(x,y)dx+\oint _{C_{4}}P(x,y)dx$

Vi ser umiddelbart at integralene over $C_{2}$ og $C_{4}$ vil bli null, det er siden den eneste variabelen som endrer seg medfører endringer på y-koordinatene og ikke x-koordinatene i det hele tatt.

$\sum \limits _{j=1}^{4}\oint _{C_{i}}P(x,y)dx=\oint _{C_{1}}P(x,y)dx+\oint _{C_{3}}P(x,y)dx$

Ved definisjonen til linjeintegralet får vi at

$\oint _{C_{1}}P(x,y)dx+\oint _{C_{3}}P(x,y)dx=\int _{a}^{b}P(t,c)dt-\int _{a}^{b}P(b+a-t,d)dt$

$\int _{a}^{b}P(t,c)dt-\int _{a}^{b}P(b+a-t,d)dt=\int _{a}^{b}P(t,c)dt-\int _{a}^{b}P(t,d)dt$

$\int _{a}^{b}P(t,c)dt-\int _{a}^{b}P(t,d)dt=\int _{a}^{b}(P(t,c)-P(t,d))dt$

Ser vi på $\sum \limits _{j=1}^{4}\oint _{C_{i}}Q(x,y)dy$ observerer vi at integralene over $C_{1}$ og $C_{3}$ blir null. Vi får derfor at

$\oint _{C_{2}}Q(x,y)dy+\oint _{C_{4}}Q(x,y)dy=\int _{c}^{d}Q(b,t)dt-\int _{c}^{d}Q(a,d+c-t)dt$

$\int _{c}^{d}Q(b,t)dt-\int _{c}^{d}Q(a,d+c-t)dt=\int _{c}^{d}Q(b,t)dt-\int _{c}^{d}Q(a,t)dt$

$\int _{c}^{d}Q(b,t)dt-\int _{c}^{d}Q(a,t)dt=\int _{c}^{d}Q(b,t)-Q(a,t)dt$

Vi får derfor at vårt opprinnelige linjeintegral er lik: $\int _{c}^{d}(Q(b,t)-Q(a,t))dt+\int _{a}^{b}(P(t,c)-P(t,d))dt$ , Plugger vi dette uttrykket inn i samme ligning som uttrykket vårt for dobbeltintegralet får vi:

$\int _{c}^{d}Q(b,t)-Q(a,t)dt+\int _{a}^{b}P(t,c)-P(t,d)dt=\int _{c}^{d}(Q(b,t)-Q(a,t))dt-\int _{a}^{b}(P(t,d)-P(t,c))dx$ Som er ekvivalent til at $0=0$, altså uttrykkene er like.

Siden alle regioner i $\mathbb {R} ^{2}$ kan bli tilnærmet så nærme som vi vil med en sum av rektangler må Greens teorem også holde for mer generelle områder. Dette er fordi for to rektangler $R_{1}$ og $R_{2}$

som tangerer hverandre med $R=R_{1}\cup R_{2}$ så vil $\oint _{\partial R_{1}}Pdx+Qdy+\oint _{\partial R_{2}}Pdx+Qdy=\oint _{\partial R}Pdx+Qdy$, dermed kan vi si at beviset er fullført. $\blacksquare$