Greens identitet

Greens identitet kommer i flere utgaver og er teorem i vektoranalyse som forbinder volumintegral over et lukket område med integralet over den flaten som omslutter volumet. De ble formulert av den engelske matematiker George Green på begynnelsen av 1800-tallet. Han utledet dem direkte fra divergensteoremet.

Identiteten ble brukt av Green til å løse spesielle problem i elektrostatikken. Metoden viste seg snart å være svært anvendelig for andre lignende både teoretiske og mer praktiske problemstillinger. I dag blir den omtalt som bruk av en Green-funksjon.

Utledning

La U være et lukket område av det tredimensjonale rommet med overflate ∂U som har normalvektor n som peker ut av området. Divergensteoremet sier da at

$\int _{U}\!{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{\partial U}\!\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \,dS$

Vektorfeltet A uttrykkes nå ved to glatte funksjoner ψ og φ som A = ψ ∇ φ Ved å benytte vektoridentiteten

$\mathbf {\nabla } \cdot (\psi {\boldsymbol {\nabla }}\phi )=\psi \nabla ^{2}\phi +{\boldsymbol {\nabla }}\psi \cdot \nabla \phi ,$

vil man dermed ha at

$\int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\phi +{\boldsymbol {\nabla }}\phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}(\psi {\boldsymbol {\nabla }}\phi )\cdot \mathbf {n} \,dS.$

Dette resultatet blir omtalt som Greens identitet og da hans første.

Greens andre identitet

Ved å bytte om ψ og φ i denne første identiteten og så ta deres differens, blir resultatet

$\int _{U}(\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi )\,dV=\oint _{\partial U}(\psi {\boldsymbol {\nabla }}\phi -\phi {\boldsymbol {\nabla }}\psi )\cdot \mathbf {n} \,dS.$

Dermed har man Greens andre identitet.

Greens funksjon

Et statisk, elektrisk potensial $\phi =\phi (\mathbf {x} )$ er bestemt av Poissons ligning som er ekvivalent med Gauss' lov. Den har formen

$\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )$

hvor funksjonen på høyre side angir fordelingen av elektrisk ladning. For å løse denne ligningen og slik bestemme potensialet overalt i rommet, antok Green at det finnes en funksjon $G=G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')$ som tilfredsstiller den partielle differensialligningen

$\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$

Her opptrer på høyre side Diracs deltafunksjon som beskriver ladningsfordelingen til en punktladning. Ved å la funksjonen $G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')$ inngå for $\psi$ i den andre identiteten, gir den da direkte

${\begin{aligned}\phi (\mathbf {x} )&=\int _{U}\!G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')f(\mathbf {x} ')dV'\\&+\oint _{\partial U}\![\phi (\mathbf {x} ')(\mathbf {n} '\cdot {\boldsymbol {\nabla }}')G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')(\mathbf {n} '\cdot {\boldsymbol {\nabla }}')\phi (\mathbf {x} ')]dS'\end{aligned}}$

Dette er det generelle resultatet for anvendelser av det som senere ble kalt Greens funksjon.

Potensialet har i det første leddet et direkte bidrag fra den gitte ladningsfordelingen, men får gjennom det andre leddet et indirekte bidrag fra flaten som omslutter ladningene. Det er avhengig av grensebetingelsene som må gi verdiene til potensialet og dets deriverte på denne flaten. Er denne for eksempel metallisk og jordet, ville det da være konstant.