Fermi-Dirac statistikk

Fermi-Diracs sannsynlighetsfordeling som funksjon av partikkelenergi ved forskjellige temperaturer.

Fermi-Dirac statistikk benyttes i statistisk fysikk til å beskrive egenskapene til et stort antall indentiske partikler som oppfyller Paulis eksklusjonsprinsipp. De kan bevege seg fritt og er i termisk likevekt. Dette gjelder oftest elektroner i metaller eller nøytroner i stjerner. Den tilsvarende, statistiske sannsynlighetsfordelingen ble funnet samtidig i 1926 av den italienske fysiker Enrico Fermi og den engelske fysiker Paul Dirac. Hvis n_r  er det midlere antall partikler som har energi E_r  ved temperaturen T, kan den skrives som

${n_{r} \over g_{r}}={1 \over {e^{(E_{r}-\mu )/k_{B}T}+1}}$

hvor μ  er partiklenes kjemiske potensial og k_B  er Boltzmanns konstant. I tillegg er g_r  et tall som angir hvor mange kvantetilstander energinivået E_r  inneholder.

Mens Fermi-Dirac statistikk gjelder for fermioner som har halvtallig spinn s = 1/2, 3/2 og så videre, gjelder Bose-Einstein statistikk for bosoner. De har heltallig spinn hvorav de mest kjente er helium med s = 0 og fotonet med s = 1. Begge er eksempel på det som omtales som kvantestatistikker da kvantemekanikken bestemmer deres egenskaper. Ved tilstrekkelig høye temperaturer går de over til Maxwell-Boltzmann statistikk hvor partiklene følger klassisk mekanikk.

Spesielt Fermi-Dirac statistikk har praktisk betydning da den ligger til grunn for ledning av elektrisk strøm som skjer ved transport av elektroner. Uten denne manifestasjon av fundamental kvantemekanikk ville ikke moderne elektronikk ha vært mulig.

Degenerasjon

Energinivå E_r = (r + 1) i et tenkt potensial hvor degenerasjonen av hvert nivå er g_r = 2r + 1.

Paulis eksklusjonsprinsipp sier at to fermioner ikke kan befinne seg i samme kvantetilstand. Disse er løsninger av Schrödinger-ligningen for hver enkelt partikkel. Den gir de mulige egenverdiene E_r  som energien til hver av dem kan ha. Hvis ligningen er uavhengig av partikkelens spinn s, vil det finnes g = 2s + 1 kvantetilstander med denne energien tilsvarende de kvantiserte retningene til spinnet. Man sier at denne egenverdien er «degenerert» siden flere egenverdier har falt sammen til én.

I sin opprinnelig utledning av denne kvantestatistikken betraktet Enrico Fermi fermioner som befinner seg i et tredimensjonalt, harmonisk oscillatorpotensial. Schrödinger-ligningen gir da egenverdier

$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=\hbar \omega (n_{x}+n_{y}+n_{z}+3/2)$

hvor ω  er vinkelfrekvensen til oscillatoren, ħ = h/2π  er den reduserte Planck-konstanten og (n_x,n_y,n_z) er kvantetall som hver kan ta verdiene 0, 1, 2 og så videre. Laveste energinivå eller «grunntilstanden» er derfor gitt som (0, 0, 0) med energi E₀ = (3/2)ħω. Første, eksiterte nivå har energien E₁ = (5/2)ħω, men inneholder tre tilstander (1, 0, 0), (0, 1, 0) og (0, 0, 1). Dets degenerasjon er derfor g₁ = 3. Generelt kan energien til hvert energinivå skrives som E_r = ħω(r + 3/2) med degenerasjon g_r = (r + 1)(r + 2)/2 hvor det effektive kvantetallet r = 0, 1, 2 og så videre.