Eulerligningene

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Eulerligningene styrer bevegelsen til en kompressibel og ikke-viskøs væske i væskedynamikken. Ligningene er en enklere form av Navier-Stokes-ligningene med null viskositet og varmekonduksjon, men blir vanligvis skrevet slik som her, fordi de direkte representerer bevaring av masse, bevegelsesmengde og energi. Ligningene har fått navn etter Leonhard Euler. I denne artikkelen tenker vi oss at den klassiske mekanikken gjelder, se relativistiske Eulerligninger for en diskusjon av kompressible væsker når farten nærmer seg lysfarten.

På differensial form er ligningene:


{\partial\rho\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho\bold u)=0

{\partial\rho{\bold u}\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho \bold u)\bold u+\nabla p=0

{\partial E\over\partial t}+
\nabla\cdot(\bold u(E+p))=0

der E=\rho e+\rho(u^2+v^2+w^2)/2 er den totale energien per volum (e er den indre energien per masse for væsken), p er trykket, u er væskens fart og \rho tettheten. Den andre ligningen inkluderer divergens av en binær tensor, og er kanskje klarere i indeksnotasjon:


{\partial\rho u_j\over\partial t}+
{\partial\rho u_i u_j\over\partial x_i}+
{\partial p\over\partial x_j}
=0

Merk at ligningene over er uttrykt på bevaringsform, siden denne formen legger vekt på det fysiske opphavet deres (og er den enkleste formen for datasimuleringer av væskedynamikk). Bevegelsesmengdekomponenten i Eulerligningene blir vanligvis uttrykt som:


\rho\left(
\frac{\partial}{\partial t}+{\bold u}\cdot\nabla
\right){\bold u}+\nabla p=0

men denne formen skjuler den direkte sammenhengen mellom Eulerligningene og Newtons andre bevegelsesligning (særlig er det ikke intuitivt hvorfor denne ligningen er korrekt og \left(\partial/{\partial t}+{\bold u}\cdot\nabla\right)(\rho{\bold u})+\nabla p=0 ikke er korrekt).

I bevaringsvektorform blir Eulerligningene

 
\frac{\partial U}{\partial t}+
\frac{\partial F}{\partial x}+
\frac{\partial G}{\partial y}+
\frac{\partial H}{\partial z}=0

der


U=\begin{pmatrix}\rho  \\  \rho u  \\  \rho v  \\ \rho w  \\E\end{pmatrix}\qquad
F=\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^2\\  \rho uv \\ \rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}\qquad
G=\begin{pmatrix}\rho v\\  \rho uv \\p+\rho v^2\\ \rho vw \\v(E+p)\end{pmatrix}\qquad
H=\begin{pmatrix}\rho w\\  \rho uw \\  \rho vw \\p+\rho w^2\\w(E+p)\end{pmatrix}.\qquad

Denne formen viser at F,G,H er flukser.

Ligningen over representerer altså bevaring av masse, tre komponenter av bevegelsesmengde, og energi. Det er derimot fem ligninger og seks ukjente. For å få en lukket problemstilling må man bruke tilstandsligningen, og den mest vanlige formen av denne er den ideelle gassloven (f.eks. p=\rho(\gamma-1)e, der ρ er tettheten, γ er en adiabatisk indeks, og e den indre energien).

Det ekstra leddet som har med p kan tolkes som det mekaniske arbeidet som et væskeelement gjør på væskeelementene rundt. Disse leddene blir summert opp til null i en inkompressibel væske.

Den mer kjente Bernoulliligningen kan utledes ved å integrere Eulerligningene langs en strømlinje, hvis man setter tettheten til å være konstant.