Elliptisk kurve

Grafisk fremstilling av to typiske, elliptiske kurver.

Elliptisk kurve er en algebraisk kurve av tredje grad i planet og uten singulariteter hvor den krysser seg selv. Dens form har ingen likhet med en vanlig ellipse, men kan beskrives ved elliptiske funksjoner på samme måte som at en sirkel kan beskrives ved trigonometriske funksjoner.

Vanligvis er kurven beskrevet ved en ligning med formen

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

hvor (x,y) er koordinatene til et punkt i planet og koeffisientene a og b er heltall. Hva som gjør denne ligningen spesiell, er at den tillater en addisjon av punkt på den tilsvarende, elliptiske kurven. Hvis P og Q er to punkt på den, er summen P + Q veldefinert og angir et nytt punkt R som også kan bestemmes ved en geometrisk konstruksjon. Det er denne egenskapen som gjør den anvendelig i moderne kryptografi.

Generelt kan også andre tallkropper benyttes i ligningen som da vil beskrive en mer abstrakt kurve. Hvis koordinatene (x,y) antas å være komplekse variabler, vil den fremstille en Riemann-flate i et firedimensjonalt rom. På den måten er elliptiske kurver av stor betydning innen algebraisk geometri og kompleks analyse. Deres egenskaper lå til grunn for at Fermats siste teorem ble bevist av Andrew Wiles i 1995.

Eksterne lenker

• Youtube, What is an elliptic curve?, gir en god oversikt.
• E.W. Weisstein, Elliptic Curve, Wolfram MathWorld.