Bidomene-modellen

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

Bidomene-modellen er en matematisk modell av hjertemuskelens elektriske egenskaper. Den er en kontinuumsmodell basert på forskjeller mellom det ekstracellulære og instracellulære domenet – området på innsiden av og på utsiden av muskelceller – der hver av disse er antatt å eksistere overalt, definert ut fra et lokalt gjennomsnitt. Bidomene-modellen er formulert som et ligningssett, bidomene-ligningene, som sammen med gitte randbetingelser kan løses i et gitt domene.

Bidomene-modellen ble utviklet på slutten av 1970-tallet, første gang presentert av Leslie Tung i januar 1978.[1][2] Den brukes i dag blant annet til å modellere defibrillering av hjertet.[3]

Grunnlag[rediger | rediger kilde]

Hjertemuskelen består av muskelceller, der man regner området som er på innsiden av disse som det intracellulære området og området som er rundt, utenfor, som det ekstracellulære området. I bidomene-modellen antar man at disse eksisterer overalt, og at hvert punkt i et gitt domene har egenskaper som tilhører hvert av disse. Som vanlig i kontinuumsmodeller er disse egenskapene basert på gjennomsnittsverdier i et lite område rundt et gitt punkt i domenet.[2]

Spenningsforskjell i det ekstracellulære og det intracellulære området, membranpotensialet, karakteriserer alle muskelceller. Dette er vesentlig for hjertet og dets funksjonalitet. Bidomene-modellen kobler sammen ligninger som beskriver et legemets elektriske egenskaper generelt, og ligninger som karakteriserer denne forskjellen.[1]

Muskelfibrene i hjertet er organisert i lag der hvert lag består av «rør» av sarkomerer. Disse er lokalt velorganisert og går i samme retning. Man kan derfor lokalt definere tre vektorer som henholdsvis angir retningen disse går i, retningen på tvers (men i samme lag) og normalen av disse, som vil være på hvers av lagene.[4] Konduktansverdiene til hjertevevet avhenger av denne retningen, og antas å være sterkest i samme retning som muskelfibrene, dernest kommer på tvers av disse og minst i retning av normalen. Den er videre ulik i det ekstracellulære og det intracellulære området.[2]

Matematisk modell[rediger | rediger kilde]

Standardformulering[rediger | rediger kilde]

Bidomene-ligningene er gitt ved

der angir cellemembranens overflateareal, per enhetsvolum, cellemembranens elektriske kapasitans per enhetsareal, er den intracellulære spenningen og den ekstracellulære spenningen, og ionestrømmen over membranen per enhetsareal.[2]

Sammen med gitte randbetingelser kan man løse disse ligningene over et gitt domene numerisk.[2]

Utledning[rediger | rediger kilde]

La med rand betegne alle punkter i hjertet. I hvert punkt i kan vi definere en intra- og ekstracellulær spenning, samt en intra- og ekstracellulær strøm, kalt henholdsvis , , og . Konduktansen i det intra- og ekstracellulære domenet er videre gitt ved og .

Vi antar at forholdet mellom strøm, spenning og konduktans er gitt ved Ohms lov, hvilket gir

Vi antar at ladning ikke akkumuleres i noe enkeltpunkt i – så total ladning er alltid bevart – hvilket gir

som ved ligningene over kan skrives om til

Denne ligningen sier at all strøm som går ut fra ett domene (enten det ekstracellulære eller det intracellulære) må gå inn i det andre.[2]

Man kan anta at transmembranpotensialet, definert som , er relatert til spenningsforskjellen ved

der og angir intra- og ekstracellulær ladning, angir overflateareal per enhetsvolum og cellemembranens kapasitans. Videre tar vi den tidsderiverte av dette, og antar vi at strømmen inn og ut av hvert domene er bevart. Fra dette kan vi utlede at

hvilket kombinert gir

som er den andre bidomene-ligningen.[2]

Konduktansverdier[rediger | rediger kilde]

Konduktansverdiene i henholdsvis samme retning som fibrene, på tvers av disse og normalt på hvert lag er ulik; videre er disse igjen ulike i det intracellulære og ekstracellulære området. Dette kan modelleres ved hjelp av diagonale matriser (annengrads tensorer), der konduktivitetsverdiene lokalt er angitt ved

,

der angir konduktivitetverdi i henholdsvis retning (i retning fibrene, på tvers, normalt) for (intracellulært, ekstracellulært).[2] Dette er lokale verdier som må omregnes til globale verdier ut fra vektorfeltet som definerer fibrenes geometri i et gitt punkt.

Disse verdiene er skalare estimerte verdier, og ikke gitt direkte i originalformuleringen av bidomene-modellen. Forskning på dette antyder at forholdet mellom verdiene er gitt ved 4:2:1, men ulike artikler oppgir ulike konduktansverdier.[5]

Ved å anta at konduktansverdiene er proposjonale i det intra- og ekstracellulære domenet, altså at for en skalarverdi , kan modellen reduseres til monodomene-modellen.[2]

Randbetingelser[rediger | rediger kilde]

For å finne en løsning for ligningssettet over, må man angi randbetingelser.[2] Dersom man antar at domenet er omgitt av et isolerende medium, kan man modellere dette som

der n er overflatens normalvektor, og ligningene angir at henholdsvis at den intracellulære og ekstracellulære strømmen er null på randen. Ved å bruke ligningene over kan dette skrives om til[2]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b Leslie Tung (Januar 1978). «A bi-domain model for describing ischemic myocardial d-c potentials». 
  2. ^ a b c d e f g h i j k Joakim Sundnes, Glenn Terje Lines, Xing Cai, Bjørn Fredrik Nielsen, Kent-Andre Mardal, Aslak Tveito (2006). Computing the Electrical Activity in the Heart. New York: Springer. s. 25–30. ISBN 978-3-540-33432-3. 
  3. ^ Natalia Trayanova, Jason Constantino, Takashi Ashihara, Gernot Plank. «Modeling Defibrillation of the Heart: Approaches and Insights». IEEE. doi:10.1109/RBME.2011.2173761. 
  4. ^ Shoba Ranganathan, Kenta Nakai, Christian Schonbac, red. (2018). Encyclopedia of Bioinformatics and Computational Biology: ABC of Bioinformatics. s. 903. ISBN 9780128114148. 
  5. ^ Barbara M. Johnston. «Six Conductivity Values to Use in the Bidomain Model of Cardiac Tissue». IEEE Transactions on Biomedical Engineering. doi:10.1109/TBME.2015.2498144. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]