Tallfølge

En tallfølge er en følge hvor elementene er tall. Hvis alle elementene er heltall, kalles følgen en heltallsfølge. Eksempler på slike følger er følgen av primtall og Fibonacci-tallene; slike følger opptrer gjerne i tallteori og kombinatorikk. Mer generelt kan elementene være reelle eller komplekse tall. Slike følger opptrer ofte i analyse og beslektede felt.

Det er vanlig å skrive en følge ved notasjonen

$\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}.$

Indekseringen begynner vanligvis enten med 0 eller 1.

Egenskaper til følger

• En følge er monotont voksende hvis hvert element er like stort eller større enn det foregående; det vil si hvis $a_i \leq a_{i+1}$. Hvis hvert element er større enn det foregående, kalles følgen strengt monotont voksende. Begrepene monotont synkende og strengt monotont synkende blir analogt definert.

• En følge er begrenset ovenfra hvis følgen har en øvre skranke; det vil si at det finnes et tall $S$ slik at $a_i \leq S$ for alle $i$. Tilsvarende er en følge begrenset nedenfra hvis følgen har en nedre skranke.

• En følge hvor annethvert element er positivt og annethvert element er negativt kalles en alternerende følge.
• Hvis alle følgens elementer er like, er følgen en konstant følge.
• Hvis følgen består av gjentagelser av en endelig delfølge, kalles følgen periodisk.

Konvergens

En følge sies å konvergere mot et tall $a$ hvis tallene i følgen kommer nærmere og nærmere $a$ ettersom indeksen øker. Formelt defineres dette slik:

Hvis det for ethvert åpent intervall $I$ rundt $a$ finnes et tall $N$ slik at $a_n \in I$ for alle $n\geq N$, så konvergerer følgen mot $a$, som kalles grenseverdien til følgen.

Alternativt kan man si at ethvert åpent intervall $I$ rundt $a$ inneholder alle unntatt et endelig antall av følgens elementer. Hvis følgen er en følge av komplekse tall, brukes omegn istedenfor intervall.

Et eksempel på en konvergent følge er følgen $\{1,1/2,1/3,1/4,\ldots\}$ som er definert ved at $a_n = 1/n$ for $n\geq 1$. Grenseverdien til følgen er 0 fordi hvis man tar et hvilket som helst åpent intervall som inneholder 0, vil alle unntatt et endelig antall av elementene i følgen ligge innenfor intervallet. En følge som ikke konvergerer, sies å divergere. Et eksempel på en divergent følge er $\{1,2,3,4,\ldots\}$, hvor $a_n = n$; denne følgen er ikke begrenset og kan dermed ikke konvergere. Et annet eksempel er $\{0,1,0,1,\ldots\}$, hvor elementene er 0 og 1 annenhver gang. Selv om en følge ikke har noen grenseverdi, kan den besitte opphopningspunkter. Verdien $a$ er et opphopningspunkt for følgen $\{a_n\}$ hvis ethvert intervall som inneholder $a$ inneholder uendelig mange elementer i følgen. Følgen $\{0,1,0,1,\ldots\}$, som ble nevnt ovenfor, har to opphopningspunkter, nemlig 0 og 1.

Teorien om konvergensen av uendelige følger er en viktig del av grunnlaget for analyse. Blant annet er grenseverdien til funksjoner og definisjonen av derivasjon og Riemann-integralet basert på konvergens av følger.