Kvadratkomplettering

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering er en teknikk i algebra med det grunnleggende formål å redusere en variabel med et polynom av annen grad i en ligning eller i et matematisk uttrykk, slik at det fremkommer et lineært polynomisk uttrykk i annen potens. Med andre ord vil det si å skrive et andregradspolynom (polynom av andre grad) på kvadratisk form. På denne måten blir det i mange sammenhenger lettere å løse bestemte ligninger. Teknikken brukes blant annet for å løse andregradsligninger.

Avledning[rediger | rediger kilde]

Et andregradspolynom blir skrevet på kvadratisk form:

x^2 + px + q = \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q.

Ved hjelp av en av kvadratsetningene utvikler vi leddet på høyre side i ligningen overfor og viser at dette er lik ligningens venstreledd:

\left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q\ = x^2 + 2 \cdot \frac{px}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q = x^2 + px + q.

Oversikt[rediger | rediger kilde]

Ved kvadratkomplettering omformes altså et andregradspolynom til et kvadrert lineært polynom og en konstant. Det betyr at et polynom av formen

a x^2 + b x\,\!

endres til et av formen

(c x + d)^2 + e\,\!

Legg merke til at koeffisientene a, b, c, d og e overfor selv kan være matematiske uttrykk og inneholde andre variabler enn x.

Vanlig formel[rediger | rediger kilde]

For

a x^2 + b x = (c x + d)^2 + e \,\!

har vi

c = \sqrt{a}\,\!
d = \frac{b}{2\sqrt{a}}\,\!
e = -d^2 = -\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2 \,\!

eller

a x^2 + b x = \left(x \sqrt{a} + \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2 - 
                    \left(\frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2\,\!

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Eksempel 1[rediger | rediger kilde]

Et meget enkelt eksempel er:

x^2+4x = x^2+4x+4-4 = (x+2)^2-4\,\!

Eksempel 2[rediger | rediger kilde]

Et annet enkelt eksempel er å finne røttene av:

\begin{matrix}
x^2 + 6x - 16 &=& 0 &\\
x^2 + 6x &=& 16 &\\
x^2 + 6x + (\frac{6}{2})^2 &=& 16 + (\frac{6}{2})^2 & *\\
x^2 + 6x + 9 &=& 16 + 9 &\\
(x + 3)^2 &=& 25 &\\
(x + 3) &=& \sqrt{25} &\\
x + 3 &=& \pm5 &\\
x &=& \pm5 - 3 &\\
x &=& - 8 , 2 &\\
\end{matrix}

* kvadratkompletteringen

Eksempel 3[rediger | rediger kilde]

Si at man vil finne løsningen av ligningen  x^2 + 3x - 4 = 0. Man kan da anvende kvadratkomplettering:

 x^2 + 3x -4 = \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 - \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 4 = \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{25}{4}

sett overforstående lik null og løs:

 \begin{align}
&{} \left(x + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} = 0 \\
&{} \Leftrightarrow \left(x + \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{25}{4} \\
&{} \Leftrightarrow x + \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{2} \\
&{} \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \\
&{} \Leftrightarrow x = 1 ~~ \mathrm{eller} ~~ x = -4
\end{align}

Eksempel 4[rediger | rediger kilde]

Betrakt problemer med å finne følgende integral:

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}\,\!.

Det kan gjøres ved hjelp av kvadratkomplettering av nevneren. Nevneren er

9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241\,\!.

Når kvadratet kompletteres ved å legge (10/2)² = 25 til x² - 10x fås det perfekte kvadratet x² - 10x + 25 = (x - 5)². Derfor fås:

9(x^2-10x)+241=9(x^2-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^2+16\,\!.

Dermed er integralet

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int\frac{dx}{(x-5)^2+(4/3)^2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C\,\!.

Eksempel 5[rediger | rediger kilde]

Som en generalisering av eksempel 2, kan røttene av

x^2 + bx +c = 0\,\!

finnes ved å omforme ligningen slik at x og x2 ikke lengre opptre. For å klare dette kompletteres kvadratet: ta halvdelen av koeffisienten til x, kvadrer den og legg den til på begge sider av likhetstegnet på følgende måte:

\begin{matrix}
x^2 + bx +c &=& 0 &\\
x^2 + bx &=& -c &\\
x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 &=& -c+ (\frac{b}{2})^2 & *\\
(x + \frac{b}{2})^2 &=&  (\frac{b}{2})^2 - c &\\
(x + \frac{b}{2}) &=& \pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^2 - c} &\\
x &=& - \frac{b}{2}\pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^2 - c} &
\end{matrix}

* kvadratkomplettering

Eksempel 6 (den generelle andregradsligningen)[rediger | rediger kilde]

Eksempel 5 kan generaliseres ytterligere til å finne løsningene av den generelle andregradsligningen

 a x^2 + b x + c  = 0 \,\!

ettersom det først foretas kvadratkomplettering slik:

\begin{matrix}a x^2 + b x + c &= &a \left(x^2 + \frac{b x}{a}\right) + c \\

 & = & a \left(x^2 + \frac{b x}{a} + \left(\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{b^2}{4 a^2}\right)\right) + c \\
 & = & a \left(x^2 + \frac{b x}{a} + \left(\frac{b}{2 a}\right)^2\right) - a \frac{b^2}{4 a^2} + c \\

 & = & a \left(x^2 + 2\frac{b x}{2 a} + \left(\frac{b}{2 a}\right)^2\right) - a \frac{b^2}{4 a^2} + c \\

 & = & a \left(x + \frac{b}{2 a}\right)^2 - a \frac{b^2}{4 a^2} + c 
\end{matrix}\,\!.

hvorav

\begin{matrix}

 \left(x + \frac{b}{2 a}\right)^2 & = & \frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a} \\

 x + \frac{b}{2 a} & = & \pm\sqrt{\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a} }\\

 x  & = & \pm\sqrt{\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a}} - \frac{b}{2 a} \\

    & = & \frac{\pm\sqrt{4 a^2 (\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a})}}{2 a} - \frac{b}{2 a} \\

    & = & \frac{- b \pm\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} 

 \end{matrix}\,\!

Komplekse versjoner av kvadratkomplettering[rediger | rediger kilde]

Betrakt uttrykket

 |z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,

der z og b er komplekse tall, z^* og b^* er de komplekse konjugasjonene av henholdsvis z og b, og c er et reelt tall. Dette kan uttrykkes på denne måten:

 |z-b|^2 - |b|^2 + c,\,

som klart er en virkelig mengde. Det er den fordi

\begin{matrix}
|z-b|^2  &=&  (z-b)(z-b)^*  \\
&=&  (z-b)(z^*-b^*)  \\
&=&  zz^* - zb^* - bz^* + bb^*  \\
&=&  |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2
\end{matrix}

På samme måte kan uttrykket

 ax^2 + by^2 + c,\,

der a, x, b, y og c er reelle tall og a>0 samt b>0, uttrykkes ved kvadratet av den absolutte verdien av et komplekst tall. Defineres

 z = \sqrt{a} x + i \sqrt{b} y,

slik

\begin{matrix}
|z|^2 &=& z z^* \\
&=& (\sqrt{a} x + i \sqrt{b} y)(\sqrt{a} x - i \sqrt{b} y) \\
&=& ax^2 - i\sqrt{a}\sqrt{b}xy + i\sqrt{b}\sqrt{a}yx - i^2by^2 \\
&=& ax^2 + by^2
\end{matrix}

, noe som gir

 ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c.\,

Bruk[rediger | rediger kilde]

Med kvadratkomplettering kan man lokalisere andregradspolynomets minste verdi:

x^2 + px + q = \underbrace{\left(x + \frac{p}{2} \right)^2}_{\geq 0} + \left(q - \left(\frac{p}{2}\right)^2\right)\geq q - \left(\frac{p}{2}\right)^2.

Denne ulikheten viser at den minste verdien q - (p/2)^2 antas ettersom tallet x er lik tallet -p/2.

Kvadratkomplettering kan også brukes på andre måter, eksempelvis for å skrive om følgende eksempel:

x^2 + 2xy = (x+y)^2 - y^2\,
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy\,

Se også[rediger | rediger kilde]