Gradient

Skalarfelt med tilhørende gradient

I matematikk er gradienten til et skalarfelt et vektorfelt der vektoren i et hvert punkt peker i retningen til den største økningen i skalarfeltet. Lengden av vektoren er et uttrykk for endringen til skalarfeltet i retning av vektoren.

Gradienten til F skrives vanligvis grad F eller $\nabla F$, der $\nabla$ er nabla-operatoren.

I figurene til høyre er to forskjellige skalarfelt tegnet i svart/hvitt, der svart symboliserer høyere verdier. Den tilhørende gradienten er vist med blå piler.

Ordet gradient brukes også ofte i en løsere betydning for å betegne variasjon i en eller annen størrelse.

Formell definisjon

Gradienten til et skalarfelt $f(x_1, x_2, x_3, \dots x_n)$ definert i et kartesisk koordinatsystem er definert ved

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right).$

der den i-te vektorkomponenten er lik den partiellderiverte av funksjonen f med hensyn på den i-te koordinaten.

Definisjonen av gradienten vil avhenge av koordinatsystemet brukt. I sylinderkoordinater er definisjonen

$\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta+ \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_z$

I kulekoordinater er definisjonen

$\nabla f(r, \theta, \phi) = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r+ \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta+ \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_\phi$

Eksempel

Gradienten til den følgende funksjonen, definert i kartesiske koordinater,

$f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)$,

er gitt ved

$\nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) = \left( 2, 6y, -\cos(z)\right).$

Taylorutvikling av skalarfelt

For et punkt der gradienten er definert vil variasjonen i et skalarfelt til første orden kunne uttrykkes ved hjelp av gradienten som

$f( \mathbf{a+v}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{v} + \| \mathbf{v}\|E(\mathbf{a,v})$

der restleddet E går mot null når $\|\mathbf{v}\|$ går mot null.

Se også

• Temperaturgradient
• Trykkgradient