Gradient

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Gradienten er illustrert med piler for to forskjellige, skalare felt som begge øker i retningene hvor pilene peker.

I matematikk er gradienten til et skalarfelt et vektorfelt der vektoren i et hvert punkt peker i retningen til den største økningen i skalarfeltet. Lengden av vektoren er et uttrykk for endringen til skalarfeltet i retning av vektoren.

Gradienten til funksjonen f = f(x,y,z) skrives vanligvis grad f eller f, der er nabla-operatoren.

I figurene til høyre er to forskjellige skalarfelt tegnet i svart/hvitt, der svart symboliserer høyere verdier. Den tilhørende gradienten er vist med blå piler.

Ordet gradient brukes også ofte i en løsere betydning for å betegne variasjon i en eller annen størrelse.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Gradienten til et generelt skalarfelt f(x_1, x_2, x_3, \dots x_n) definert i et kartesisk koordinatsystem er definert ved

 \boldsymbol{\nabla} f  = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots,  \frac{\partial f}{\partial x_n }  \right).

der den i-te vektorkomponenten er lik den partiellderiverte av funksjonen f med hensyn på den i-te koordinaten.

Definisjonen av gradienten vil avhenge av koordinatsystemet brukt. I sylinderkoordinater er definisjonen

 \boldsymbol{\nabla} f(\rho, \theta, z) = 
\frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho+
\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta+
\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_z

I kulekoordinater er definisjonen

\boldsymbol{\nabla} f(r, \theta, \phi) = 
\frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r+
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta+
\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_\phi

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Gradienten til den følgende funksjonen, definert i kartesiske koordinater,

f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z),

er gitt ved

 \boldsymbol{\nabla} f= \left(
\frac{\partial f}{\partial x},
\frac{\partial f}{\partial y},
\frac{\partial f}{\partial z}\right)
 = \left( 2, 6y, -\cos(z)\right).

Taylorutvikling av skalarfelt[rediger | rediger kilde]

For et punkt der gradienten er definert vil variasjonen i et skalarfelt til første orden kunne uttrykkes ved hjelp av gradienten som

f( \mathbf{a+v}) = f(\mathbf{a}) + \boldsymbol{\nabla} f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{v} + \| \mathbf{v}\|E(\mathbf{a,v})

der restleddet E går mot null når \|\mathbf{v}\| går mot null.

Se også[rediger | rediger kilde]