Terminalfart

Terminalfart er hastigheten til et legeme som faller mot bakken når tyngdekraften som trekker legemet mot bakken er like stor som luftmotstanden (den atmosfæriske friksjonen som virker i motsatt retning av tyngdekraften). Ved denne farten akselererer ikke legemet lenger og faller med konstant fart. Dersom et legeme faller nedover med større fart enn terminalfarten, for eksempel hvis det kommer fra tynnere luft eller endrer form, vil den sakke av til den når terminalfarten.

Terminalfarten til en fallskjermhopper i vanlig fritt fall er omtrent 200 km/t når fallskjermhopperen ligger på magen. De når halvparten av terminalfarten etter bare 3 sekunder, mens det tar 8 sekunder å nå 90 % og 15 sekunder å nå 99 % av terminalfarten. Fallskjermhopperne kan nå høyere fart enn 200 km/t hvis de endrer posisjon, for eksempel ved å stupe gjennom luften, eller ved å reise seg opp å stå. Da endrer terminalfarten seg og tilpasser seg den nye posisjonen.

Verdensrekorden i høyeste frittfallhastighet under et fallskjermhopp ble tatt i 2016 av svenske Henrik Raimer som nådde 601,26 km/t.

Årsaken til at et legeme oppnår en terminalfart er at luftmotstanden er direkte proporsjonal med kvadratet av farten. Ved lav fart er luftmotstanden mye mindre enn tyngdekraften, og legemet akselererer. Når farten øker, øker også luftmotstanden inntil den er like stor som vekten av legemet. Luftmotstanden er også avhengig av tverrsnittarealet. Dette er grunnen til at legemer med stor overlate, som for eksempel en fallskjerm, har lavere terminalfart enn mindre legemer som for eksempel kanonkuler.

Matematisk kan terminalfarten skrives som

$V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}$

der

$V_{t}$ er terminalfarten,

$m$ er massen til det fallende legemet,

$g$ er tyngdeakselerasjonen,

$C_{d}$ er luftmotstandskoeffisienten,

$\rho$ er tettheten til fluidet som legemet faller gjennom, og

$A$ er legemets tverrsnittareal.

Denne ligningen får vi fra friksjonslikningen ved å sette luftmotstanden lik mg, som er tyngdekraften til legemet.

Merk at lufttettheten øker når høyden avtar, omtrent 1 % per 80. meter (se hydrostatisk likning). Derfor minker terminalfarten med 1 % når et legeme har falt 160 meter. Dersom legemet forblir uendret vil farten altså minke jo nærmere bakken det kommer.

Tilnærming

Tilnærmet terminalfart er mye enklere å finne enn terminalfarten, fordi det er vanskelig å finne verdien til $C_{d}$. En enkel skaleringsmetode er å henge et legeme ut vinduet på en bil i en tynn tråd. Terminalfarten til legemet er farten bilen har når legemet henger med 45° vinkel. Dette kan man enkelt vise matematisk fordi det skjer når luftmotstanden (i horisontal retning) er lik tyngdekraften.

Utledning

To krefter virker på et fallende legeme: tyngdekraften og luftmotstanden. Summen av disse kreftene kan uttrykkes som:

$F=mg-qv^{2}\,$

der

m er massen til legemet

g er tyngdeakselerasjonen

q er ${\frac {1}{2}}\rho C_{d}A$ fra friksjonslikningen.

Terminalfarten er oppnådd når $F=0$, slik at

$mg-qv^{2}=0\,$

eller ved å løse med hensyn på $v$,

$v_{t}={\sqrt {\frac {mg}{q}}}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\,$

Farten kan finnes som en funksjon av tida når tyngde- og friksjonskrefter er kjent. Med utgangspunkt i likninga $F=mg-qv^{2}$, og ved å bruke Newtons andre lov, $F=ma$, fører dette til en differensialligning:

$m{\frac {dv}{dt}}=mg-qv^{2}\,$

Løsningen på denne differensialligningen involverer en hyperbolsk funksjon, og er gitt som:

$v(t)={\sqrt {\frac {gm}{q}}}\tanh \left({\sqrt {\frac {gq}{m}}}t\right)\,$

Bytter vi ut q får vi løsningen:

$v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho C_{d}A}{2m}}}\right)\,$

Denne funksjonen for $v(t)$ kan også brukes for å finne terminalfarten. Når $t$ går mot uendelig, vil tanh-leddet gå mot 1, og vi får:

$v_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\,$

Se også

• Akselerasjon
• Friksjon
• Newtons lover