Stokes' teorem

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Stokes' teorem sier hvordan et linjeintegral rundt en lukket kurve kan omskrives som et flateintegral over en flate som ligger innenfor denne kurven:

\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{a}

Her er kurven C randen til flaten S, matematisk uttrykt som C = ∂ S. Det kan være nyttig å bruke teoremet begge veier.


Et eksempel på bruk er innen elektromagnetismen hvis en vil omskrive Faradays induksjonslov fra integralform til differensialform:

\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { \partial \over \partial t }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}

gir ved Stokes' teorem:

\int_S (\nabla \times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{a} = -\frac{\partial}{\partial t}\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}

Derivasjonsoperatoren på tid i det siste uttrykket kan settes på innsiden av integraltegnet siden tida er uavhengige av arealet:

\int_S (\nabla \times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{a} = - \int_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{a}

Ettersom integralet er helt likt på begge sider, kan integrasjonsoperatorene fjernes:

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

Vi har her fått Faradays lov på differensialform.

Se også[rediger | rediger kilde]