Massesenter

Massesenter i rødt for et system med fire partikler. Typisk befinner det seg nær den tyngste partikkelen.

Massesenter til en samling punktmasser eller partikler er middelverdien til deres posisjoner vektet med massen til hver partikkel. Når et sammensatt legeme bestående av mange slike massepunkt blir påvirket av flere eksterne krefter, vil det bevege seg som om alle disse kreftene virker i legemets massesenter. Dette gjelder derfor også når systemet av partikler befinner seg i et konstant tyngdefelt. Av denne grunn omtales ofte legemets massesenter som dets tyngdepunkt.

Et stivt legeme har et massesenter som har en fast posisjon relativt til legemet selv om dette ikke nødvendigvis er et punkt i selve legemet. For beskrivelse av bevegelsen til et system av mange partikler eller flere deler er det vanligvis en fordel å bestemme først hvor messesenteret befinner seg og deretter hvordan hver enkelt del beveger seg i forhold til dette. Denne fremgangsmåten har utstrakt bruk både innen astronomi og atomfysikk.

I noen astronomiske sammenhenger blir messesenteret omtalt som et «barysenter» basert på det gamle, greske ordet βαρύς for tung. Beskriver man posisjonene til de andre partiklene til systemet relativ til dette senteret, kalles de i så fall for «barysentriske avstander». Denne gammeldagse betegnelsen har på lignende vis blitt tatt over til geometrien hvor barysentriske koordinater benyttes i affine vektorrom og moderne datagrafikk.

Definisjon

For et system som består av N  partikler med masser m₁, m₂, .. m_N  i posisjoner r₁, r₂, .. r_N , er massesenteret definert å befinne seg i punktet

$\mathbf {R} ={1 \over M}{\Big (}m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}+\ldots +m_{N}\mathbf {r} _{N}{\Big )}$

Her er

$M=m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{N}\equiv \sum _{i=1}^{N}m_{i}$

den totale massen til systemet. Når alle punktmassene er like store, faller massesenteret sammen med punktenes «geometriske senter», ofte omtalt som deres centroide.

Noen ganger kan det gi en forenkling i beregning av massesenteret å dele systemet opp i mindre deler. For eksempel kan man gruppere hele systemet med N  partikler opp i to system med henholdsvis n  og N - n  partikler. Deres tilsvarende masser kan kalles M_A  og M_B. Hver av dem har da massesenterene

$\mathbf {R} _{A}={1 \over M_{A}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i},\quad \mathbf {R} _{B}={1 \over M_{B}}\sum _{i=n+1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}$

Massesenteret for hele systemet blir dermed

$\mathbf {R} ={1 \over M}{\Big (}M_{A}\mathbf {R} _{A}+M_{B}\mathbf {R} _{B}{\Big )}$

hvor massen til hele systemet nå er M = M_A + M_B. Det vil ikke nødvendigvis befinne seg innen en av delene, men kan likså godt ligge mellom dem eller helt utenfor begge hvor det ikke finnes noen masser.

Eksempel

Massesenteret S  til to masser m₁ og m₂ kan finnes ved vektstangprinsippet.

To masser m₁ og m₂ befinner seg på x-aksen. Posisjonen til messesenteret S  er da gitt ved

$(m_{1}+m_{2})x_{S}=m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}$

Det kan omskrives til

$m_{1}(x_{S}-x_{1})=m_{2}(x_{2}-x_{S})$

Ved å innførr avstandene ℓ₁ = x_S - x₁ og ℓ₂ = x₂ - x_S, er de da gitt ved

$m_{1}\ell _{1}=m_{2}\ell _{2}$

Denne sammenhengen uttrykker vektstangprinsippet som sier at forholdet mellom massene er omvendt proporsjonalt med deres avstander til massesenteret. Dette resultatet illustrerer et mer generelt prinsipp som sier at dreiemomentet til et legeme som befinner seg i et homogent tyngdefelt, er null når det beregnes om legemets massesenter.

Kontinuerlig massefordeling

Et fast legeme består av massepunkt som er så tett fordelt at det har en kontinuerlig massetetthet ρ(r ). Massen til et lite volumelement dV er da dm = ρdm. Dermed kan massesenteret til legemet finnes ved Integrasjonen

$\mathbf {R} ={1 \over M}\int \!dV\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r}$

der den totale massen M  kan finnes ved et tilsvarende integral. Når massetettheten er konstant, vil dette igjen gi legemets centroide.

Noen ganger kan massesenteret finnes ut fra enkle symmetribetraktninger når tettheten i legemet er konstant. Er massen for eksempel jevnt fordelt langs en linje, ligger massesenteret i linjens midtpunt. Da et rektangel kan betraktes som en stabel av linjer med samme lengde, vil det derfor ha et massesenter som ligger i krysningspunktet til dets to diagonaler. På samme vis ligger massesenteret til en ring i dens sentrum. Der ligger også massesenteret til en sirkulær skive med konstant tetthet.

Trekant

Massesenteret til en trekant er gitt ved skjæringspunktet for dets medianer.

Massesenteret til en trekant kan ikke uten videre finnes ved symmetriargument. Men igjen kan man betrakte den som en stabel med linjestykker med jevnt kortere lengder som alle ligger parallelt med en av sidene i trekanten. Det lengste linjestykket har derfor samme lengde som denne siden, og dens midtpunkt utgjør massesenterert. Slik fortsetter det oppover i trekanten til man når hjørnet motsatt denne siden. Alle disse massesentrene ligger derfor på en rett linje og utgjør medianen til dette hjørnet. Samme argument kan man så gjenta for de andre hjørnene. Massesenteret for hele trekanten må da ligge i det punktet hvor de tre medianene skjærer hverandre. Det kan vises rent geometrisk, og man finner at det ligger i en avstand av 1/3 til høyden over hver side.

Bestemmelse av massesenteret S til en trekant.

Dette resultatet finnes også direkte fra definisjonen av massesenteret for et stivt legeme som her er en plan trekant. Den har et hjørne A  med en motsatt side med lengde a. Hvis høyden over denne siden er h, er massen til trekanten proporsjonal med arealet (1/2)ah. Hvis denne siden ligger langs x-aksen, vil de parallelle linjestykkene over den ha lengdene L = a - (a/h)y, det vil si L = a  for y = 0 og L = 0 for y = h. Dermed følger at massesenteret må ha y-koordinaten

${\begin{aligned}y_{S}&={2 \over ah}\int _{0}^{h}\!dy\ ya{\Big (}1-{y \over h}{\Big )}\\&=2h{\Big (}{1 \over 2}-{1 \over 3}{\Big )}={h \over 3}\end{aligned}}$

og må ligge på medianen fra det motstående hjørnet A . Denne beregningen kan så gjentas med tilsvarende resultat for de to andre sidene i trekanten. Resultatet blir at massesenteret ligger i skjæringspunktet mellom de tre medianene i en avstand av 1/3 til høydene over hver av sidene.

Dynamikk

Betrakter man en partikkel med masse m_i  i posisjon r_i = r_i(t ) til et sammensatt system, vil den ha en bevegelse som er bestemt av Newtons andre lov

$m_{i}{d\mathbf {v} _{i} \over dt}=\mathbf {F} _{i}$

hvor v_i  = d r_i /dt  er dens hastighet. Den totale kraften F_i  som virker på den partikklen kan skrives som

$\mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{ex}+\sum _{j\neq i}\mathbf {F} _{ij}^{in}$

Det første ledd angir en eventuell, ytre kraft F_i^ex  som måtte virke, mens det andre leddet tar hensyn til indre krefter F_ijⁱⁿ  som virker mellom de forskjellige partiklene.

Indre og ytre krefter virkende på to punktmasser.

En første konsekvens av denne bevegelsesligningen fremkommer ved å summere den over alle partiklene i systemet. Den tar da formen

${d \over dt}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{ex}$

da de indre kreftene ikke vil bidra på høyre side. Det skyldes Newtons tredje lov om kraft og motkraft. Den sier at F_ijⁱⁿ = - F_jiⁱⁿ slik at de ikke vil bidra i den doble summen som der opptrer. På høyre side av ligningen har man derfor kun summen F^ex av alle eksterne krefter. Den tar dermed formen

$M{d\mathbf {V} \over dt}=\mathbf {F} ^{ex}$

hvor V = d R/dt  er hastigheten til massesenteret. Denne vil derfor være konstant når systemet ikke utsettes for ytre krefter. Det betyr ifølge Newtons første lov at massesenteret til et fritt legeme vil bevege seg langs en rett linje uansatt om det er sammensett av mindre deler eller ikke.

Tyngdepunkt

Når systemet av partikler er utsatt for en konstant tyngdeakselerasjon g, er den ytre kraften som virker på hver av dem gitt ved

$\mathbf {F} _{i}^{ex}=m_{i}\mathbf {g}$

Massesenteret vil da få en bevgelse som følger fra

$M{d\mathbf {V} \over dt}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {g} =M\mathbf {g}$

Det sammensatte systemet opptrer derfor som en fri punktpartikkel da den totale effekt av tyngdekraften er konsentrert i dets massesenter. Det er grunnen for at dette ofte blir omtalt som systemets «tyngdepunkt».

Massesentersystem

Når det er av interesse å bestemme bevegelsen til de indre delene eller partiklene i et sammensatt system, er det enklere og mer naturlig å gøre dette i forhold til massesenteret. I massesentersystemet angis derfor posisjonen til hver enkelt del ved relative avstander til dette,

$\mathbf {r} _{i}'=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$

Hver slik del eller partikkel har derfor en relativ hastighet

$\mathbf {v} _{i}'={d\mathbf {r} _{i}' \over dt}=\mathbf {v} _{i}-\mathbf {V}$

til massesenteret. I dette referansesystemet har dermed hver partikkel en indre bevegelsesmengde eller impuls som er

$\mathbf {p} _{i}'=m_{i}\mathbf {v} _{i}'=\mathbf {p} _{i}-m_{i}\mathbf {V}$

hvor p_i = m_i v_i er impulsen i det utenforliggende referansesystemet. Dette blir noen ganger omtalt som laboratoriesystemet. Den totale impulsen til alle partiklene målt i massesentersystemet blir nå

$\sum _{i}\mathbf {p} _{i}'=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}-M\mathbf {V} =0$

ut fra definisjonen av massesenteret og dets hastighet.

Den totale, kinetiske energien til alle partiklene i systemet tar nå formen

$K={1 \over 2}\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}^{2}={1 \over 2}M\mathbf {V} ^{2}+{1 \over 2}\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}'^{2}$

Her forsvinner kryssleddet mellom de to hastighetene av samme grunn som at summen av alle, indre impulser er null. Det første leddet er den kinetiske energien som skyldes den felles bevegelse av massesenteret, mens det siste leddet representerer bevegelsesenergien til de indre delene av det sammensatte systemet.

Dreieimpuls

Systemet med partikler har ikke bare en total impuls P = M V, men også en total dreieimpuls

$\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}$

Her er nå p_i = m_i v_i impulsen i laboratoriesystemet. Da den generelt ikke er konstant, vil heller ikke den totale dreieimpulsen være konstant under bevegelsen. Men denne variasjonen følger en enkel lov som følger fra den deriverte

${d\mathbf {L} \over dt}=\sum _{i}{d\mathbf {r} _{i} \over dt}\times \mathbf {p} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times {d\mathbf {p} _{i} \over dt}$

Det første leddet er null da d r_i /dt  = v_i . I det siste leddet gir nå Newtons andre lov d p_i /dt = F_i resultatet

${d\mathbf {L} \over dt}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\equiv \mathbf {T}$

Her opptrer dermed det totale dreiemomentet T som virker på alle partiklene. Denne fundamentale sammenhengen omtales vanligvis som spinnsatsen da dreieimpuls ofte kalles for spinn.

Den totale kraften F_i  som virker på partikkel med masse m_i, skyldes både indre og ytre krefter som påvirker partiklene. Bidraget fra den indre kraften F_ijⁱⁿ  gir bidrag til den dobble summen i dreimomentet som blir

$\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ij}^{in}+\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}^{in}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\times \mathbf {F} _{ij}^{in}$

Ved å ta for gitt at denne kraften er rettet langs forbindelseslinjen mellom partiklene i retning r_i - r_j , vil bidraget fra disse kreftene derfor ha null effekt. Dreiemomentet er dermed gitt ved de ytre kreftene alene,

$\mathbf {T} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{ex}$

Med denne formelen kan det nå beregnes i forhold til origo for posisjonsvektorene r_i. Av større betydning er dreiemomentet i forhold til massesenteret for systemet. Ved igjen å benytte sammenhengen r_i = R + r_i' har man at

$\mathbf {T} =\mathbf {R} \times \mathbf {F} ^{ex}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}'\times \mathbf {F} _{i}^{ex}$

Det første leddet inneholder den totale, eksterne kraften som virker på massesenteret, mens det andre leddet representerer dreiemonentet Tⁱⁿ til alle partiklene i forhold til dette punktet. I det spesielle tilfellet at de ytre kreftene skyldes en konstant tyngdeakselerasjon g, blir dette bidraget

$\mathbf {T} ^{in}=(\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}')\times \mathbf {g} =0$

fra definisjonen av massesenteret.

Indre spinn

Den totale dreieimpulsen L kan også splittes opp in en ytre og en indre del Lⁱⁿ. Det gjøres ved bruk av sammenhengen p_i = m_i V + p_i' mellom impulsene i de to referansesystemene. På denne måten fremkommer

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\sum _{i}(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}')\times (m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {p} _{i}')\\&=\mathbf {R} \times M\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}'\times \mathbf {p} _{i}'\end{aligned}}$

To av kryssprodukteneher bidrar ingenting av samme grunn som tidligere. Mens det første leddet representerer dreieimpulsen til systemet eller legemet som helhet, står det siste leddet

$\mathbf {L} ^{in}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}'\times \mathbf {p} _{i}'$

for dets indre spinn eller dreieimpuls. Den er gitt ved impulsen til hver partikkel relativ til massesenteret samt deres avstander fra dette og er derfor uavhengig av systemets plassering i laboratorisystemet.

Spinnsatsen for hele systemet forenkles nå til

${d\mathbf {L} ^{in} \over dt}=\mathbf {T} ^{in}$

Dermed er både den translatoriske bevegelsen og rotasjonen til systemet delt opp i to nesten uavhengig deler. Massesenteret beveger seg under påvirkning av den totale, ytre kraften, mens dets rotasjon om dette punktet er bestemt av de ytre krefters virkning på hver enkel partikkel.

Lokalisering av tyngdepunkt

Praktisk bestemmelse av massesenteret til et todimensjonal legeme.

Massesenter og dets plassering har mange praktiske anvendelser for stabilitet av utstrakte legemer. Når et slikt system befinner seg i et konstant tyngdefelt, kan det holdes i ro ved å feste det i et vilkårlig punkt. Da vil den totale kraften som virker på det i dette punktet være like stor og rettet i motsatt retning til tyngdekraften som virker i legemets massesenter, Dette må ligge under festepunktet for stabilitet. Dermed vil heller ikke legemet kunne dreie seg da dreimomentet til massesenteret om festepunktet er null. De to punktene ligger på en loddrett linje.

Stabilitet av kasse på et skrått plan.

Denne observasjonen kan benyttes til å finne massesenteret til et vilkårlig legeme. Man kan henge det opp i et vilkårlig punkt og markere en rett linje gjennom festepunktet. Gjentas dette for et annet opphengningspunkt, vil en ny linje gjennom dette skjære den første linjen i et bestemt punkt. Det er legemets massesenter uavhengig av hvilke festepunkt man gjør bruk av.

Et annet eksempel er å betrakte en kasse på et skråplan. Dens massesenter antas å befinne seg i midten. Her virker tyngdekraften som blir motvirket av kraften fra planet. Når dets hellningsvinkel er liten, vil kassen holdes i ro grunnet friksjon med dette. Men økes denne vinkelen, vil hele kassen kunne tippe over ved å rotere om nederste hjørne. Hele vekten til kassen går da gjennom dette punktet. Så snart massesenteret er kommet over dette punktet, vil kassen bli påvirket av et dreiemoment som vil få den til å falle om.

Astronomisk barysenter

Planeter, stjerner og andre himmellegemer er ofte i astronomien holdt sammen i større systemer holdt sammen ved gravitasjonskrefter. Selv om disse himmellegemene på ingen måte er punktpartikler, kan de likevel beskrives på den måten ifølge Newtons skallteorem. Massesenteret til et slikt bundet system blir noen ganger omtalt som et «barysenter».

Bevegelsen til Solsystemets barysenter relativt til Solen.

Når kun to slike masser m₁  og m₂  er bundet sammen på denne måten, kan deres bevegelse beskrives som et tolegemeproblem. Hver av dem vil da beskrive en Kepler-ellipse omkring barysenteret. Når disse banene har store halvakser a₁ og a₂, vil forholdet mellom dem være gitt ved

$m_{1}a_{1}=m_{2}a_{2}$

Massene beveger seg slik at deres forbindelseslinje alltid går gjennom barysenteret. Denne sammenhengen vil derfor gjelde for en dobbeltstjerne. I det spesielle tilfellet at begge banene er sirkler, vil a₁  og a₂ være radiene til disse.

Også Månens bevegelse omkring Jorden kan beskrives som et tolegemeproblem når man ser bort fra påvirkningen fra Solen. Ut fra dens masse og avstand til Jorden finner man at barysenteret ligger ca. 4500 km fra Jordens sentrum. det vil si omtrent 1700 km under overflaten. Det flytter seg med Månens bevegelse. I tillegg beveger det seg omkring Solen i en mye større Kepler-ellipse.

På samme vis beveger de andre planetene i Solsystemet seg omkring dets barysenter. Dette ligger ikke i Solens sentrum, men noe utenom dette og flytter på seg. Dette skyldes hovedsaklig den relativt store massen til planeten Jupiter.

Historie

Konseptet av et massesenter ble først introdusert av den greske matematikeren, fysikeren og ingeniøren Arkimedes. Arkimedes viste at dreiemomentet til en stang var det samme om vekter på stangen var fordelt eller om dem var samlet på et punkt massesenteret. I forsøk med flytende masser viste han at orienteringen til den flytende massen er den som gjør dens tyngdepunkt lavest mulig. Han utviklet matematiske teknikker for å finne massesenter for objekter med jevnt fordelt masse ved hjelp av forskjellige veldefinerte former. I middelalderen ble teoriene om massesenterets betydning videre utviklet av Abu Rayhan Biruni, al-Razi og Omar Khayyám.