Klotoide

Klotoide

En klotoide er en kurve der krummingen endrer seg lineært med lengden. Det kan matematisk uttrykkes slik:

$r={\frac {a^{2}}{l}},\quad a>0,$

der $r$ er krummingsradiusen, $l$ er lengde på buen, og $a$ er en konstant, klotoideparameteren.

På parameterform blir likningen:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=a\,{\sqrt {\pi }}\,\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\pi \,\xi ^{2}}{2}}\\\sin {\frac {\pi \,\xi ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}\ \mathrm {d} \xi ,\quad t={\frac {l}{a\,{\sqrt {\pi }}}},$

der $l$ er lengden av kurven fra $\left(0,0\right)^{T}$ til $\left(x,y\right)^{T}$.

Dette integralet er det samme som fresnelintegralene i optikken.

Når en planlegger en trasé for veg eller jernbane, blir traseen i horisontalplanet bygget opp av rette linjer og sirkelbuer. Hvis kjøretøyer med høy hastighet skal bruke traseen, må det settes inn overgangskurver mellom sirkel og rettlinje for å unngå plutselige endringer i sentripetalakselerasjonen.

Klotoiden egner seg godt til overgangskurve, ettersom sentripetalakselerasjonen som kjøretøyet utsettes for vil endres lineært i en klotodide. En enklere måte å se det på er at man beveger rattet med jevn hastighet når man kjører bil langs en klotoide. Bruken har også en estetisk begrunnelse ettersom traseer der klotoider er brukt som regel vil passe bedre inn i naturlig terreng.

Når en bruker en klotoide som overgangskurve, er radiusen uendelig ved enden av rettlinja og minker så jevnt til den blir lik sirkelens radius ved begynnelsen av sirkelen. En klotoide brukt mellom to sirkler med ulik radius kalles eggkurve. En sammensatt klotoide består av flere klotoider etter hverandre med ulike klotoideparametere.

Klotoider er vanskelig å beregne for hånd, og vegingeniørene brukte derfor tidligere spesielle klotoidelinjaler for å kunne tegne traseer. Nå gjøres beregningene av programmer for vegprosjektering.

Når man bygger berg- og dalbaner med looper, blir det brukt klotoider inn og ut av loopen, så passasjerene ikke blir utsatt for farlig høy akselerasjon.

Denne kurven ble først oppdaget av Leonhard Euler, og blir av og til kalt Eulers spiral. Flere jernbaneingeniører gjenoppdaget på 1800-tallet kurven uten å kjenne til Eulers arbeid.

I denne berg- og dalbanen ser man at det er brukt klotoider.

Litteratur

• Hugo Kasper (1954) Die Klothoide als Trassierungselement Ferd. Dümmlers Verlag, Bonn
• Statens vegvesen (2013) Premisser for geometrisk utforming av veger: Håndbok V120 ISBN 978-82-7207-666-4

Eksterne lenker

• Vestergaards matematiksider: Vejgeometri