Omvendt funksjonsteorem

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

I matematikk, spesielt i kalkulus, så gir omvendt funksjonsteorem betingelser for når en funksjon har en lokal invers. Teoremet gir også en formel for den deriverte til den omvendte funksjonen.

Formulering av teoremet[rediger | rediger kilde]

Teoremet finnes i to versjoner, én i en-variabel kalkulus, og en i fler-variabel kalkulus. For funksjoner med én variabel sier teoremet følgende: Anta at er en kontinuerlig funksjon med kontinuerlige deriverte, og at i et punkt . Da finnes en omegn om slik at restringert til er injektiv, og slik at om er verdimengden til , så er den omvendte funksjonen kontinuerlig deriverbar, og tilfredsstiller

For funksjoner av flere variabler er påstanden helt analog. Den er som følger: Anta at er en åpen mengde og at har kontinuerlige partiellderiverte. Anta at og at Jacobi-matrisen er inverterbar. Da finnes en åpen omegn om slik at restringert til er injektiv. Verdimengden til denne restriksjonen er en omegn om , og den omvendte funksjonen er deriverbar i med Jacobi-matrise

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Vi tar et eksempel med en funksjon med to variable. La være definert ved . Vi skal undersøke om funksjonen er inverterbar nær punktet . Jacobi-matrisen gitt ved

Dermed er Jacobi-determinanten gitt ved . Setter vi inn for , får vi at determinanten er ikke-null. Det følger da fra teoremet at det finnes en omegn om slik at funksjonen er lokalt inverterbar. Den deriverte til den omvendte funksjonen er gitt ved , som er

Dette viser at funksjonen har en lokal invers, men den har ingen global invers. Spesielt er funksjoner som har en global invers injektive, noe denne funksjonen ikke er. For å se dette, legg merke til at om , så er , så funksjonen kan ikke være injektiv.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  • Lindstrøm, Tom og Hveberg, Klara (2011). Flervariabel analyse med lineær algebra. Harlow: Pearson Education Limited. ISBN 978-0-273-73813-8.