Omvendt funksjonsteorem

I matematisk analyse gir det omvendt funksjonsteorem betingelser for når en funksjon har en lokal invers. Teoremet gir også en formel for den deriverte til den omvendte funksjonen.

Formulering av teoremet

Teoremet finnes i to versjoner, én i en-variabel-analyse, og en i fler-variabel-analyse. For funksjoner med én variabel sier teoremet følgende: Anta at $f$ er en kontinuerlig funksjon med kontinuerlige deriverte, og at $f^{\prime }(a)\neq 0$ i et punkt $a$. Da finnes en omegn $U$ om $a$ slik at $f$ restringert til $U$ er injektiv, og slik at om $V=f(U)$ er verdimengden til $f$, så er den omvendte funksjonen $g:V\to U$ kontinuerlig deriverbar, og tilfredsstiller

${\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}.$

For funksjoner av flere variabler er påstanden helt analog. Den er som følger: Anta at $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ er en åpen mengde og at $\mathbf {F} :U\to \mathbb {R} ^{m}$ har kontinuerlige partiellderiverte. Anta at ${\bar {x}}\in U$ og at Jacobi-matrisen $\mathbf {F} ^{\prime }({\bar {x}})$ er inverterbar. Da finnes en åpen omegn $U_{0}\subset U$ om ${\bar {x}}$ slik at $\mathbf {F}$ restringert til $U_{0}$ er injektiv. Verdimengden $V$ til denne restriksjonen er en omegn om ${\bar {y}}=\mathbf {F} ({\bar {u}})$, og den omvendte funksjonen $\mathbf {G} :V\to U_{0}$ er deriverbar i ${\bar {y}}$ med Jacobi-matrise

$\mathbf {G} ^{\prime }({\bar {y}})=\mathbf {F} ^{\prime }({\bar {x}})^{-1}.$

Eksempel

Vi tar et eksempel med en funksjon med to variable. La $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ være definert ved $\mathbf {F} (x,y)=(x^{4}-y^{4},xy)$. Vi skal undersøke om funksjonen er inverterbar nær punktet $(1,0)$. Jacobi-matrisen gitt ved

$\mathbf {F} ^{\prime }(x,y)={\begin{pmatrix}4x^{3}&4y^{3}\\y&x\end{pmatrix}}.$

Dermed er Jacobi-determinanten gitt ved $\det \mathbf {F} ^{\prime }(x,y)=4x^{4}-4y^{4}$. Setter vi inn for $(1,0)$, får vi at determinanten er ikke-null. Det følger da fra teoremet at det finnes en omegn om $(1,0)$ slik at funksjonen er lokalt inverterbar. Den deriverte til den omvendte funksjonen er gitt ved $\mathbf {F} ^{\prime }(1,0)^{-1}$, som er

$\mathbf {F} ^{\prime }(1,0)^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Dette viser at funksjonen har en lokal invers, men den har ingen global invers. Spesielt er funksjoner som har en global invers injektive, noe denne funksjonen ikke er. For å se dette, legg merke til at om $(a,b)\neq (0,0)$, så er $\mathbf {F} (a,b)=\mathbf {F} (-a,-b)$, så funksjonen kan ikke være injektiv.

Referanser

• Lindstrøm, Tom og Hveberg, Klara (2011). Flervariabel analyse med lineær algebra. Harlow: Pearson Education Limited. ISBN 978-0-273-73813-8. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)