Eksakt løsning

Eksaktverdier eller eksakte verdier er matematiske størrelser som er angitt helt presist, fremfor ved en tilnærming gitt ved desimaltall. Hensikten med det er å angi verdien helt nøyaktig. Eksaktverdier som ikke tilsvarer heltall uttrykkes ofte ved hjelp av brøker, rotuttrykk, som kjente konstanter eller ved andre funksjoner, som for eksempel 1/3, ${\sqrt {2}}$, $\pi$ eller $\ln 2$.

Ved å bruke eksaktverdier unngår man å miste presisjon, og man kan bruke verdiene videre i andre beregninger uten å ta hensyn til eventuelle unøyaktigheter.

Eksempler på eksakte løsninger

Begrepet lar seg best forklare med eksempler, med moteksempler.

Trigonometri

Finn $\sin {\frac {\pi }{4}}$

Eksakt løsning	Tilnærmet løsning
$\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\sin {\frac {\pi }{4}}\approx 0,71$

Finn arealet av en likesidet trekant med areal 2. En likesidet trekant har areal $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}$

Eksakt løsning	Tilnærmet løsning
$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}2^{2}={\sqrt {3}}$	$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}2^{2}={\sqrt {3}}\approx 1,73$

Differensialligninger

Regn ut $x$ når $2=e^{x}$

Eksakt løsning	Tilnærmet løsning
${\begin{alignedat}{2}2&=e^{x}\\x&=\ln {2}\end{alignedat}}$	${\begin{alignedat}{2}2&=e^{x}\\x&=\ln {2}\\x&\approx 0,69\end{alignedat}}$

Bestem integralet $\int \limits _{0}^{1}x^{2}dx$

Eksakt løsning	Numerisk løsning (trapesmetoden 2 punkter)	Numerisk løsning (trapesmetoden 3 punkter)
$\int \limits _{0}^{1}x^{2}dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{3}}$	$\int _{0}^{1}x^{2}dx\approx (0+1)\left[{\frac {1}{2}}\right]=0,5$	$\int _{0}^{1}x^{2}dx\approx (0+2\cdot 0,25+1)\left[{\frac {0,5}{2}}\right]=0,375$

Brøk

Regn ut ${\frac {72}{108}}$

Eksakt løsning (forkorting av brøk)	Tilnærmet løsning
${\frac {72}{108}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {72}{108}}\approx 0,67$

Se også

• Avrunding
• Eksakte trigonometriske konstanter