Deltametoden

Deltametoden er innen statistikk en metode for å lage en tilnærmet sannsynlighetsfordeling for funksjonen av en testobservator. Metoden kan også regnes som en generalisering av sentralgrenseteoremet,

Envariabel deltametode

Anta en følge av tilfeldige variable $X_{n}$ som tilfredsstiller

${\sqrt {n}}(X_{n}-\theta ){\xrightarrow {L}}N(0,\sigma ^{2})$

der $\theta$ og $\sigma ^{2}$ er konstanter, og ${\xrightarrow {L}}$ betyr konvergens i distribusjon/lov. Anta at $g()$ er en kontinuerlig funksjon, så vil

${\sqrt {n}}(g(X_{n})-g(\theta )){\xrightarrow {L}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})$

Bevis i envariabeltilfellet

For en kontinuerlig funksjon $g$, sier middelverdisetningen at

$g(X_{n})=g(\theta )+g'({\tilde {\theta }})(X_{n}-\theta )$

hvor ${\tilde {\theta }}$ ligger mellom $X_{n}$ og $\theta$. Siden $X_{n}{\xrightarrow {P}}\theta$ må også ${\tilde {\theta }}{\xrightarrow {P}}\theta$. Hvis vi omarrangerer likningen litt og ganger med ${\sqrt {n}}$ får vi

${\sqrt {n}}(g(X_{n})-g(\theta ))=g'(\theta ){\sqrt {n}}(X_{n}-\theta )$

og ettersom ${\sqrt {n}}(X_{n}-\theta ){\xrightarrow {P}}N(0,\sigma ^{2})$ må $g'(\theta ){\sqrt {n}}(X_{n}-\theta ){\xrightarrow {P}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})$ og beviset er fullført.

Eksempel

Man ønsker ofte å utføre hypotesetester for parametere i sannsynlighetsfordelinger. I poissonfordelingen betyr dette å teste hypotesen om $\lambda =\lambda _{0}$ mot $\lambda \neq {\hat {\lambda }}$. Der ${\hat {\lambda }}$ er den observerte, eller estimerte parameteren. Sentralgrenseteoremet gir da at

${\sqrt {n}}({\hat {\lambda }}-\lambda _{0})\sim N(0,\lambda _{0})$

Problemet med denne testobservatoren er at variansen avhenger helt og holdent på $\lambda$. Så spredningen i estimatet avhenger av parameteren vi prøve å estimere. Dette problemet kan man komme rundt med deltametoden. Bruk at $g(\lambda )={\sqrt {\lambda }}$:

${\sqrt {n}}({\sqrt {(}}{\hat {\lambda }}-{\sqrt {\lambda _{0}}})\sim N(0,\lambda _{0}{\frac {1}{(2{\sqrt {\lambda _{0}}})^{2}}})=N(0,{\frac {1}{4}})$

Litteratur

• E. L. Lehman (1998), Elements of Large Sample Theory, Springer