Biot-Savarts lov

Biot-Savarts lov er en matematisk ligning i fysikken som bestemmer det magnetiske feltet fra en stasjonær, elektrisk strøm. Dermed spiller den samme rolle i magnetostatikken som Coulombs lov gjør i elektrostatikken hvor det elektriske feltet lar seg beregne for en gitt fordeling av elektriske ladninger. Loven ble formulert av de franske fysikere Jean-Baptiste Biot og Félix Savart i 1820 samtidig som Ampère fant sin sirkulasjonslov for magnetfeltet. Disse to lovene er ekvivalente.

Beskrivelse

På enkleste form er kan Biot-Savarts lov formuleres for en elektrisk strøm I i en tynn ledning. Et lite lengdestykke $d{\boldsymbol {\ell }}$ langs ledningen gir et tilsvarende lite bidrag

d\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r}  \over r^{3}}

til magnetfeltet B i en avstand r fra linjestykket hvor μ₀ er den magnetiske konstanten i SI-systemet. På samme måte som Coulomb-feltet fra en punktladning, avtar dette magnetfelt omvendt proporsjonalt med kvadratet av avstanden r. Retningen til feltvektoren kan bestemmes ved høyrehåndsregelen for vektorproduktet og størrelsen er proporsjonal med sinus til vinkelen mellom $d{\boldsymbol {\ell }}$ og $\mathbf {r}$ . Det totale magnetfeltet i et gitt punkt finnes ved å integrere over hele den lukkete kretsen som den strømførende ledningen danner.^[1]

For praktiske beregninger av magnetfeltet fra en gitt strømfordeling er vanligvis Biot-Savarts lov mer egnet enn Ampères sirkulasjonslov. Dette tilsvarer at Coulombs lov i elektrostatikken i de fleste tilfeller er mer anvendbar til beregning av det elektriske feltet fra en gitt ladningsfordeling enn Gauss' lov selv om disse to formuleringene også er matematisk ekvivalente.

Da den elektriske strømmen består av en viss mengde elektrisk ladning q som i et lite tidsrom beveger seg med en hastighet v gjennom linjestykket $d{\boldsymbol {\ell }}$ , er Biot-Savarts lov ekvivalent med

\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}{\mathbf {v} \times \mathbf {r}  \over r^{3}}

På denne formen kan loven benyttes til å beregne magnetfeltet som skapes av ladete partikler i bevegelse. Forutsetningen er at hastigheten er mye mindre enn lyshastigheten, det vil si at bevegelsen er ikke-relativistisk. Hvis ikke, må mer generelle metoder fra elektrodynamikken benyttes.

Anvendelser

Magnetfeltet i punktet P er bestemt av strømelementet $Id\mathbf {s}$ i kildepunktet Q på ledningen.

Som et enkelt eksempel på bruken av Biot-Savarts lov kan man beregne det magnetiske feltet fra en rett strømledning med endelig lengde og som fører strommen I. Den må inngå som en del av en større strømkrets som danner en lukket sløyfe.

Hvis strømlederen ligger i xy-planet, sier loven at feltet i et punkt P i samme plan må peke langs z-aksen. Størrelsen til feltet er bestemt av hvordan dette punktet ligger plassert i forhold til lederens posisjon. Ligger denne langs x-aksen med endepunkter i x = a₁ og x = a₂, er feltet gitt ved integralet

B={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{a_{1}}^{a_{2}}\!ds{\cos \alpha  \over r^{2}}

hvor vinkelen α bestemmer retningen r fra feltpunktet P til kildepunktet Q. Er ρ avstanden fra P til x-aksen og man lar denne vinkelen bli ny integrasjonsvariabel, vil ds = d(ρ tanα) = ρdα/cos²α og r = ρ/cosα. Integralet forenkles dermed til

B={\frac {\mu _{0}I}{4\pi \rho }}\int _{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\!d\alpha \cos \alpha ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi \rho }}(\sin \alpha _{2}-\sin \alpha _{1})

Hvis feltpunktet ligger rett utenfor den venstre enden for ledningen, blir magnetfeltet der B = μ₀I /4πρ sinα₂. Denne verdien går mot μ₀I /4πρ når ledningen strekker seg uendelig langt ut til høyre. For en uendelig lang ledning i begge retninger blir feltet dobbelt så stort, det vil si

B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi \rho }}

I hvert punkt utenfor ledningen står magnetfeltet vinkelrett på planet som går gjennom punktet og ledningen. De tilsvarende feltlinjene er derfor sirkler om ledningen med denne som sentrum.^[2]

Endelig spole

En viktig anvendelse er beregning av magnetfelt rundt en spole som leder strømmen I. Hvis denne er uendelig lang (ideell), kan man bruke Ampères sirkulasjonslov til å vise at feltet utenfor spolen er null da bidragene fra alle vindingene vil kansellere hverandre. Derimot vil de adderes sammen til en konstant verdi B = μ₀nI inni spolen hvor n er antall vindinger per lengdeenhet.

Men for en spole med endelig lengde kan ikke denne fremgangsmåten benyttes. Derimot kan Biot-Savarts lov anvendes selv om dette kan være matematisk vanskelig på grunn av den integrasjonen som må utføres. For et vilkårlig feltpunkt må denne gjøres ved hjelp av numeriske metoder. Men på grunn av sylindersymmetrien til problemet vil feltet på spolens akse være rettet langs denne. Verdien her kan finnes analytisk.

Den strømførende ringen gir et resulterende magnetfelt på z-aksen som peker langs denne.

Spolen med radius a antas å ligge langs z-aksen. En enkel vinding i den er en sirkel. Alle punkt på denne gir samme bidrag til magnetfeltet i et punkt på aksen. Dette bidraget er rettet langs den samme aksen og har størrelsen

B={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{2\pi a \over r^{2}}\sin \alpha

hvor r er avstanden fra feltpunktet til strømelementet på sirkelen og α er den halve åpningsvinkelen til vindingen sett fra feltpunktet. Feltet på aksen som skyldes hele spolen, finnes så ved å integrere alle disse bidragene fra hver vinding. Med n vindinger per lengde, vil det bety å erstatte strømmen I gjennom en vinding med Indz for et smalt band med vindinger. Ved så å benytte at a = r sinα og z = r cosα, kan man bruke vinkelen α som integrasjonsvariabel. Dermed blir totalfeltet i et punkt på aksen til spolen gitt ved

B(z)=-{1 \over 2}\mu _{0}nI\int _{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\sin \alpha ={1 \over 2}\mu _{0}nI(\cos \alpha _{2}-\cos \alpha _{1})

hvor α₁ og α₂ angir åpningsvinklene til spolens endeflater sett fra feltpunktet. For en uendelig lang spole vil α₁ = 180^° og α₂ = 0^° slik at resultatet B = μ₀nI fra sirkulasjonsloven gjenfinnes.^[1]

For en spole med endelig lengde L vil feltet alltid gå mot null på aksen når man beveger langt ut til venstre til høyre for den fordi begge vinklene da går mot null. I enden z = 0 av spolen hvor α₁ = 90^° og tanα₂ = a/L, tar magnetfeltet verdien

B(0)={1 \over 2}\mu _{0}nI{L \over {\sqrt {a^{2}+L^{2}}}}

Fordi en slik spole på mange måter oppfører seg som en stavmagnet, har denne bruken av Biot-Savarts lov også relevans i den sammenhengen. Den virkelige strømmen I i spolen erstattes da med en overflatestrøm som skyldes magnetiseringen til magneten.

Historie

Kort tid etter at Ørsted sommeren 1820 annonserte sin oppdagelse av magnetiske krefter forårsaket av en elektrisk strøm, ble flere eksperimentelle undersøkelser startet opp i Paris av medlemmer av det franske vitenskapsakademiet. Mens Ampère ville finne den fundamentale loven som beskriver den magnetiske kraften mellom elektriske strømmer, undersøkte Biot og Savart hvordan strømmen i en vertikalt montert ledning virker på en liten, horisontalt opphengt kompassnål. Denne var plassert inne i en glassbeholder for å beskytte nålen mot luftstrømmer og virkningen av det jordmagnetiske feltet var forsøkt eliminert. Størrelsen av den magnetiske kraften kunne bestemmes ut fra svingetiden til nålen.^[3]

På denne tiden var trodde man at magnetiske krefter fulgte en tilsvarende lov som Coulombs lov for elektriske krefter. En kompassnål beveget seg ved at den magnetiske kraften virket på N- og S-polen til nålen som skulle bestå av motsatt magnetisk ladning. Som arbeidshypotese antok de derfor at kraften mellom en slik ladning og et strømelement Id s på ledningen ville være proporsjonal med

dB=k_{m}{Ids \over r^{2}}f(\alpha )

hvor konstanten k_m er bestemt av målesystemet man benytter. Her er r avstanden mellom strømelementet og kompassnålen, mens α er vinkelen mellom denne retningen og retningen til strømelementet. Denne vinkelen inngår i en ukjent funksjon f (α) som måtte bestemmes eksperimentelt.

Første eksperiment

De første målingene viste at den totale kraften på kompassnålen fra en rett leder var omvendt proporsjonal med avstanden b til denne. For denne geometrien er ds sinα = rdα hvor sinα = b/r. Innsatt i den antatte loven, blir da den resulterende kraften

B={2k_{m}I \over b}\int _{0}^{\pi /2}\!d\alpha f(\alpha )

hvor faktoren 2 opptrer fordi hver halvdel av ledningen gir samme bidrag. Det gjenstående integralet er bare en numerisk konstant slik at resultatet avtar som 1/b. På den måten fikk de bekreftet den fundamentale antagelsen at delkraften fra hvert strømelement skulle avta som 1/r².

Andre eksperiment

For å bestemme den ukjente funksjonen f (α) gjennomførte Biot og Savart en nye serie med målinger av kraften utenfor en ledning som ble bøyet slik at den hadde formen som en horisontal V med åpningsvinkel 2θ. Kompassnålen befant seg utenfor knekkpunktet i avstand b fra dette. Igjen ble det observert at den totale kraften fra hele ledningen varierte omvendt proporsjonalt med denne avstanden samtidig som den økte med åpningsvinkelen θ.^[4] Etter konsultasjoner med Laplace konkluderte de med at funksjonen f (α) = sinα slik at deres magnetiske lov fikk sin endelige form

d\mathbf {B} =k_{m}I{d\mathbf {s} \times \mathbf {r}  \over r^{3}}

da vektorproduktet her har størrelse dsr sinα. Det er på denne formen deres magnetiske lov skrives i dag.

Det er fremdeles noe uklart hvordan de kom frem til dette resultatet basert på de første målingene i denne serien. Ampère påpekte at hvis den ukjente funksjonen var sinα, skulle totalkraften øke med tan(θ/2) og ikke med selve vinkelen. Igjen følger det fra integrasjon ved bruk av ds sinα = rdα, men nå kombinert med kravet r sinα = b sinθ som følger fra geometrien i oppstillingen. Herav følger nå totalkraften

B={2k_{m}I \over b\sin \theta }\int _{0}^{\theta }\!d\alpha \sin \alpha ={2k_{m}I \over b}\tan {\theta  \over 2}

For en rett ledning er θ = 90^° slik at dette resultatet er konsistent med hva som ble funnet i det første eksperimentet. Etter denne erkjennelsen kunne Biot og Savart ved nye målinger bekrefte avhengigheten tan(θ/2) som tilnærmet varierer proporsjonalt med vinkelen mellom 0^° og 90^° som de opprinnelig hadde konkludert.^[3]

Generell formulering

Ved å betrakte en generell strømtetthet som bestående av ladninger med tetthet ρ som beveger seg med hastigheten v, kan man erstatte et strømelement i Biot-Savarts lov med

Id{\boldsymbol {l}}=\mathbf {v} \,dq=\mathbf {v} \rho \,d^{3}x=\mathbf {J} \,d^{3}x

der nå strømtettheten J = ρ v. I tillegg er det hensiktsmessig å skille mellom feltpunktet r og kildepunktet r' . Dermed kan loven skrives på den generelle formen

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\mu _{0} \over 4\pi }\int \!\!d^{3}x'\,{\mathbf {J} (\mathbf {r'} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}

Fra vektoranalysen kan man nå benytte identiteten

{\boldsymbol {\nabla }}\times \phi \mathbf {v} =\phi {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} -\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\nabla }}\phi

for en vilkårlig funksjon $\phi$ og vektorfelt $\mathbf {v}$ . Ved å velge $\phi =1/|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |$ kombinert med at

{\boldsymbol {\nabla }}{1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}=-{\mathbf {r} -\mathbf {r'}  \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}},

kan man dermed gjøre omformingen

{\mathbf {J} (\mathbf {r'} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {J} (\mathbf {r} ') \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}

da J(r') er uavhengig av posisjonen r. På den måten kommer man frem til et resultat for magnetfeltet på formen B = ∇ × A hvor

\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\mu _{0} \over 4\pi }\int \!d^{3}x'{\mathbf {J} (\mathbf {r} ') \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}

er det magnetiske vektorpotensialet.^[5] Da divergensen til en curl alltid er null, har man da med en gang at magnetfeltet må oppfylle ∇ ⋅ B = 0. Dette er Maxwells andre ligning som betyr at de magnetiske feltlinjene må være lukkete kurver. I motsatt fall måtte det eksistere frie, magnetiske ladninger eller monopoler som feltlinjene kunne begynne og slutte på. Biot-Savarts lov sier at alle statiske magnetfelt må være skapt av elektriske strømmer, det vil si elektriske ladninger i jevn bevegelse.

Ampères sirkulasjonslov

Hvis man i stedet for divergensen av B-feltet beregner dets curl, vil den følge fra

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\mu _{0} \over 4\pi }{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times \int \!\!d^{3}x'\,{\mathbf {J} (\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}

Dette kan forenkles ved bruk av identiteten

{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {A}

fra vektoranalysen kombinert med den enkle egenskapen

{\boldsymbol {\nabla }}{1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}=-{\boldsymbol {\nabla '}}{1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}.

Det resulterer i at det ene leddet inneholder faktoren

{\boldsymbol {\nabla }}^{2}{1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )

som følger fra Coulomb-potensialet som en løsning av Poissons ligning for en punktladning. Mens dette gir et endelig resultat μ₀J på høyre side av ligningen, inneholder det andre leddet en faktor som kan omskrives ved en partiell integrasjon,

\int \!d^{3}x'\mathbf {J} (\mathbf {x'} )\cdot {\boldsymbol {\nabla '}}{1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}=-\int \!d^{3}x'{{\boldsymbol {\nabla '}}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}=0

hvor overflateleddet er satt lik null samtidig med at ∇ ⋅ J = 0 som følger fra kontinuitetsligningen for en stasjonær strøm. På den måten står man igjen med det enkle resultatet^[5]

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} )

som er Ampères sirkulasjonslov på differensiell form. Maxwell viste at for tidsvarierende felt må denne ligningen utvides med en forskyvningsstrøm på høyre side. Det betyr at et elektrisk felt som varierer med tiden, også skaper et magnetisk felt. Dette er den grunnleggende mekanismen bak all elektromagnetisk stråling.

Se også

Referanser

^ ^a ^b J.R. Reitz and F.J. Milford, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1960).
^ H.D. Young and R.A. Freedman, University Physics, Addison Wesley, New York (2008). ISBN 978-0-321-50130-1.
^ ^a ^b R.A.R. Tricker, Early Electrodynamics, Pergamon Press, London (1965).
^ H. Erlichson, The experiments of Biot and Savart concerning the force exerted by a current on a magnetic needle, American Journal of Physics, 66 (5), 385-391 (1998).
^ ^a ^b J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley, New York (1999). ISBN 0-471-30932-X.

[RM-1] J.R. Reitz and F.J. Milford, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1960).

[YF-2] H.D. Young and R.A. Freedman, University Physics, Addison Wesley, New York (2008). ISBN 978-0-321-50130-1.

[Tricker-3] R.A.R. Tricker, Early Electrodynamics, Pergamon Press, London (1965).

[Erlichson-4] H. Erlichson, The experiments of Biot and Savart concerning the force exerted by a current on a magnetic needle, American Journal of Physics, 66 (5), 385-391 (1998).

[Jackson-5] J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley, New York (1999). ISBN 0-471-30932-X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]