Binomisk fordeling

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En binomisk fordeling eller binomialfordeling er en diskret fordeling (et begrep innen sannsynlighetsteori og matematisk statistikk) som håndterer hyppige (diskrete) forsøk med fast sannsynlighet.

Dersom en stokastisk variabel X er binomisk fordelt, med n=antall forsøk og p=sannsynligheten for å lykkes i hvert forsøk, skriver man :

 X \in Bin(n,p)

X har sannsynlighetsfunksjonen

 p_X(k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}.

der p er sannsynligheten for at hendelsen skal inntreffe og 1 - p = q således sannsynligheten for at hendelsen ikke skal inntreffe. Slik dukker binomialkoeffisientene opp i fordelingen.

Binomialfordelingen kan under visse omstendigheter tilnærmes med andre fordelinger. Tommelfingerregelen er at dersom p < 0,1 kan fordelingen tilnærmes med poissonfordelingen Po(np), eller dersom np(1-p) > 10 med normalfordelingen N(np,\sqrt{npq}).

Eksempel: Statistikerens favoritteksempel er urnemodeller som bygger på urner med svarte og hvite kuler. Sannsynligheten for å ta ut en hvit kule ved en tilfeldig trekning er p. Sannsynligheten for at man tar ut nøyaktig k hvite kuler ved n forsøk, dersom man har s antall svarte og v hvite kuler i en urne, og legger tilbake kulene mellom hver trekning (trekning med tilbakelegging), gis da av sannsynlighetsfunksjonen over med

 p = {v \over {s+v}} \quad og \quad q = 1 - p,

der p og q gis gjennom den klassiske sannsynlighetsdefinisjonen.

Eksempel 2: Dersom man kaster en terning tre ganger, og terningen er velbygd, slik at sannsynligheten for å få en sekser er 1/6, blir sannsynligheten for å få sekser to ganger

 P = {3 \choose 2} \left( {1 \over 6} \right)^2 {5 \over 6} = {5 \over 72}

Eksempel 3: På samme vis kan man regne ut sannsynligheten for å få sifferet seks x ganger ved n antall kast:

 P(X = x) = {n \choose x} \left( {1 \over 6} \right)^x \left( {5 \over 6} \right)^{n-x}

Se også[rediger | rediger kilde]