Basel-problemet

Leonhard Euler, 1707 - 1783.

Basel-problemet er et berømt problem i matematisk analyse som fikk stor betydning for den senere utvikling av matematikk og spesielt for tallteori. Det var først formulert av den italienske matematiker Pietro Mengoli i 1650 og besto i å finne et eksakt svar for den uendelige summen

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots$ .

Det lyktes den sveitsiske matematiker Leonhard Euler i 1735 som viste at svaret var π²/6. Euler var på den tiden 28 år gammel og løsningen ga han stor anerkjennelse. Han videreførte arbeidet i forskjellige retninger, men det var den tyske matematiker Bernhard Riemann som vel hundre år senere oppdaget den store betydningen løsningen hadde for tallteori og kompleks analyse.

Problemet ble først systematisk undersøkt av brødrene Jakob Bernoulli og hans yngre bror Johann Bernoulli som underviste Euler. Da disse tre bodde i Basel, ble det etterhvert vanlig å omtale denne summasjonen som Basel-problemet.

Eulers løsning

Jakob Bernoulli hadde allerede bevist at summen av rekken måtte være mindre enn 2. Den konvergerer meget langsomt. Mens direkte addisjon av de 100 første termene gir 1.55 for summen, forandres dette til 1.634 ved å ta med 10000 termer. Men i 1731 kunne Euler som da var 24 år gammel, få summen frem ved en indirekte beregning som ga det mye mer presise resultatet 1.644934. Likevel var ikke dette godt nok da problemet besto i å finne en eksakt verdi.

Den 5. desember 1735 kunne Euler på et møte i Det russiske vitenskapsakademiet i St. Petersburg presentere en slik eksakt løsning. Han tok utgangspunkt i Taylor-rekken for den trigonometriske funksjonen sinx som kan skrives som

${\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots$

Euler betraktet dette som et vanlig polynom som måtte kunne skrives som et produkt av faktorer som inneholder røttene x = ±π, ±2π, ±3π etc. og derfor er gitt som

${\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}$

Ved å sammenligne leddene proporsjonale med x²  på hver side av dette uttrykket, fikk han dermed frem det eksakte resultatet

${\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}$ .

som dermed var løsningen av problemet. Høyresiden har den approksimative verdien 1.64493 40668..., men likevel ble det stilt spørsmål ved utledningen. Først i 1741 kunne Euler presentere en alternativ og mer rigorøs løsning som ga det samme resultatet.

Den opprinnelige løsningen av Basel-problemet ble først publisert i 1740. I mellomtiden hadde Euler utvidet den samme fremgangsmåten til nye rekker som tilsvarer koeffisientene til leddene proporsjonale med x⁴, x⁶  opp til x¹². Det ga resultat for de tilsvarende rekkene

$\zeta (p)={\frac {1}{1^{p}}}+{\frac {1}{2^{p}}}+{\frac {1}{3^{p}}}+{\frac {1}{4^{p}}}+\cdots$

med p et like tall mindre eller lik med 12. Disse rekkene definerer det som i dag omtales som Riemanns zetafunksjon ζ(s). Euler kunne selv noen år senere summere opp sine resultat i den generelle formelen

$\zeta (2k)={(2\pi )^{2k} \over 2(2k)!}|B_{2k}|$

hvor på høyresiden Bernoulli-tallene B_n  opptrer. Det var han selv som kunne gi disse tallene deres navn til ære for sine læremestre i Basel.