Terminalfart

Terminalfart har hastigheten til et legeme som faller mot bakken når tyngdekraften som trekker legemet mot bakken er like stor som luftmotstanden (den atmosfæriske friksjonen som virker i motsatt retning av tyngdekraften). Ved denne farten akselererer ikke legemet lenger og faller med konstant fart. Dersom et legeme faller nedover med større fart enn terminalfarten, for eksempel hvis det kommer fra tynnere luft eller endrer form, vil den sakke av til den når terminalfarten.

Terminalfarten til en fallskjermhopper i vanlig fritt fall er omtrent 195 km/t. De når halvparten av terminalfarten etter bare 3 sekunder, mens det tar 8 sekunder å nå 90 % og 15 sekunder å nå 99 % av terminalfarten. Fallskjermhopperne kan nå høyere fart hvis de legger armene og beina inntil kroppen og justerer kroppens vinkel i forhold til fallretningen, opptil 320 km/t.

Årsaken til at et legeme når en terminalfart er at luftmotstanden er direkte proporsjonal med roten av farten. Ved lav fart er luftmotstanden mye mindre enn tyngdekraften, og legemet akselererer. Når farten øker, øker også luftmotstanden helt til den er like stor som vekten av legemet. Luftmotstanden er også avhengig av tverrsnittarealet. Dette er grunnen til at legemer med stor overlate, som for eksempel en fallskjerm, har lavere terminalfart enn mindre legemer som for eksempel kanonkuler.

Matematisk kan terminalfarten skrives som

$V_t= \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d }}$

der

$V_t$ er terminalfarten

$m$ er massen til det fallende legemet

$g$ er tyngdeakselerasjonen

$C_d$ er luftmotstandskoeffisienten

$\rho$ er tettheten til væsken legemet faller gjennom og

$A$ er legemets tverrsnittareal.

Denne ligningen får vi fra friksjonslikningen ved å sette luftmotstanden lik mg, som er tyngdekraften til legemet.

Merk at lufttettheten øker når høyden avtar, omtrent 1 % per 80 m (se hydrostatisk likning). Derfor minker terminalfarten med 1 % når et legeme har falt 160 m. Dersom legemet forblir uendret vil farten altså minke jo nærmere bakken det kommer.

Tilnærming

Tilnærmet terminalfart er mye enklere å finne enn terminalfarten, fordi det er vanskelig å finne verdien til $C_d$. En enkel skaleringsmetode er å henge et legeme ut vinduet på en bil i en tynn tråd. Terminalfarten til legemet er farten bilen har når legemet henger med 45° vinkel. Dette kan man enkelt vise matematisk fordi det skjer når luftmotstanden (i horisontal retning) er lik tyngdekraften.

Utledning

To krefter virker på et fallende legeme: tyngdekraften og luftmotstanden. Dette kan uttrykkes som:

$F = mg - qv^2 \,$

der

m er massen til legemet

g er tyngdeakselerasjonen

q er $\frac{1}{2} \rho C_d A$ fra friksjonslikningen.

Terminalfarten har man når $F = 0$, slik at

$mg - qv^2 = 0 \,$

eller ved å løse med hensyn til $v$,

$v_t = \sqrt{ \frac{mg}{q} } = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \,$

Vi kan finne farten som en funksjon av tid når vi har tyngde og friksjonskrefter. Vi starter igjen med $F = mg - qv^2$, og merk at $F = ma$. Dette fører til en differensialligning:

$m \frac{dv}{dt} = mg - q v^2 \,$

Vi omarrangerer leddene:

$\frac{dv}{dt} + \frac{q}{m} v^2 = g \,$

Løsningen på denne differensialligningen involverer en hyperbolsk funksjon, og er

$v(t) = \sqrt{ \frac{gm}{q} } \tanh \left(\sqrt{\frac{gq}{m}} t \right) \,$

Bytter vi ut q får vi løsningen:

$v(t) = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho C_d A}{2m}} \right) \,$

Vi kan også bruke denne funksjonen $v(t)$ for å finne terminalfarten. Når $t$ går mot uendelig, vil tanh leddet gå mot 1, og vi får:

$v_{t} = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \,$

Se også

• Akselerasjon
• Friksjon
• Newtons lover