Syklisk gruppe

I abstrakt algebra er en syklisk gruppe en gruppe som er generert av ett bestemt element.^[1] Det vil si, den består av en mengde elementer med en inverterbar assosiativ operasjon. Og den inneholger et element g slik at ethvert element kan fås ved å gjenta operasjonen eller dens inverse gjentatte ganger til g. Hvert element kan skrives som en potens av g (i multiplikativ notasjone) eller som et multiplum av g (i additiv notasjon). Dette elementet g kalles en generator for gruppen^[1] eller et primitivt element for gruppen.

Enhver uendelig syklisk gruppe er isomorf til den additive gruppen av de hele tallene, Z. Enhver endelig syklisk gruppe av orden n er isomorf til de hele tallene modulo n. Enhver syklisk gruppe er en abelsk gruppe, (som betyr at gruppeoperasjonen er kommutativ), mens enhver endelig generert abelsk grupper er et direkte produkt av abelske grupper.

Definisjon

En gruppe G kalles syklisk om det er et element g i G slik at G = ⟨g⟩ = { gⁿ | n is an integer }. Siden enhver gruppe generert av et element g i gruppn er en undergruppe av den gitte gruppen, så for å vise at G er syklisk er det nok å vise at den eneste undergruppen av G som inneholder g er Gselv (hvor g er gruppens generator).

For eksempel, hvis G = { g⁰, g¹, g², g³, g⁴, g⁵ } er en gruppe, så er g⁶ = g⁰, og G er syklisk. G er i praksis det samme som (i matematisk språk, isomorf med) mengden { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } med addisjon modulo 6. For eksempel, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) svarer til g¹ · g² = g³, and 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) svarer til g² · g⁵ = g⁷ = g¹, og så videre. Man kan bruke isomorfismen χ definert ved χ(gⁱ) = i.

Navnet "syklisk" kan være misvisende:^[2] Det er mulig å generere uendelig mange elementer, men ikke danne noen sykler i bokstavelig forstand; det vil si, alle gⁿ er forskjellige. (Det kan tenkes som å ha en uendelig lang sykel.) En gruppe generert på denne måten (for eksempel, den første frieze group, p1) kalles en uendelig syklisk gruppe, og er isomorf med den additive gruppen av de hele tallene, (Z, +).

Eksempler

Example cyclic groups in 2-dimensional symmetry
C₁	C₂	C₃


C₄	C₅	C₆

Hele tall og modulær addisjon

Mengden av de hele tallene, med operasjonen addisjon, danner en gruppe.^[1] Den er en uendelig syklisk gruppe, fordi alle hele tall kan skrives som en endelig sum eller differanse av kopier av tallet 1. I denne gruppen er 1 og −1 de eneste generatorene. Alle uendelige sykliske grupper er isomorf til denne gruppen.

For hvert hele positive tall n, så danner mengden av hele tall modulo n en endelig syklisk gruppe, igjen med operasjonen addisjon. Et element g er en generator for denne gruppen hvis g er relativt primisk til n. Enhver endelig syklisk gruppe er isomorf til en gruppe Z/n, hvor n er ordenen til gruppen.

Addisjon av hele tall og modulær addisjon, brukt for å definere sykliske grupper, er begge addisjonsoperasjoner i kommutative ringer, som også betegnes som Z and Z/n. Hvis p er et primtall, så er Z/p en endelig kropp, og skrives vanligvis som F_p eller som GF(p). Enhver kropp med p elementer er isomorf til denne.

Modulær multiplikasjon

Utdypende artikkel: Multiplicative group of integers modulo n

For hvert positivt heltall n, så vil delmengden av de hele tallene modulo n som er relativt primiske til n, med operasjonen multiplikasjon, danne en endelig gruppe som for mange verdier av n er syklisk. Det er den group under multiplication modulo n, og den er syklisk når n er 1, 2, 4, en power of an odd prime, eller to ganger en potens av et odde primtall.^[3] Dens elementer er units i ringen Z/nZ; det er φ(n) av dem, hvor igjen φ er Eulers totientfunksjon. Denne gruppen skrives som (Z/nZ)^×. For eksempel, (Z/6Z)^× har som sine elementer {1,5}; 6 er to ganger et odde primtall (3), så dette er en syklisk gruppe. Til sammenligning, (Z/8Z)^× (med elementer {1,3,5,7}) er Klein-gruppen og er ikke syklisk. Når (Z/nZ)^× er syklisk, så kalles enhver generator av (Z/nZ)^× en primitive root modulo n.

Den sykliske gruppen (Z/pZ)^× hvor p er et primtall, skrives også som (Z/pZ)^* fordi den består av ikkenull-elementene i den endelig kroppen av orden p. Mere generelt, enhver endelig undergruppe av den multiplikative gruppen til enhver kropp er syklisk.^[4]

Rotasjonssymmetrier

Mengden av rotasjonssymmetrier til et polygon danner en endelig syklisk gruppe.^[5] Hvis det er n forskjellige måter å avbilde polygonet til seg selv ved en rotasjon (som inkluderer nullrotasjonen) så er denne gruppen isomorf til Z_n. I dimensjon tre eller høyere så kan det eksistere andre endelige symmetrigrupper som ikke er sykliske, men som ikke danner en mengde av rotasjoner rundt en akse.

Gruppen S¹ av alle rotasjonene til en sirkel rundt sitt sentrum er ikke syklisk. Ulike den uendelige sykliske gruppen, er den ikke engang tellbar. Det finnes også andre uendelige rotasjonsgrupper som er tellbare men ikke sykliske, så som mengden av rotasjoner ved rasjonale vinkler.

Undergrupper og notasjon

Utdypende artikkel: Fundamentalteoremet til sykliske grupper

Alle undergrupper og kvotientgrupper til sykliske grupper er sykliske. Spesielt, så er alle undergrupper til Z av formen mZ, hvor m er et heltall ≥0. Alle disse undergruppene er forskjellige fra hverandre, og bortsett fra den trivielle gruppen (for m = 0) så er alle isomorfe til Z. Gitteret (eller lattice) av undergrupper av Z er isomorf til dualen til gitteret av naturlige tall ordnet ved dividerbarhet.^[6] Spesielt, siden primtallene er de tallene som ikke har ikketrivielle divisorer, så er en syklisk gruppe enkel hvis og bare hvis ordenen (antall elementer) er primisk.^[7]

Siden de sykliske gruppene er abelsk, så skrives de ofte additivt og betegnes Z_n med identitetselemetet skrevet 0. Men, denne notasjonen kan være problematisk for tallteoretikere fordi den er i konflikt med den vanlige notasjonen for p-adic numberringer eller localization ved et primideal. kvotientnotasjonen Z/nZ, Z/n, og Z/(n) er standardalternativer. Man kan istedenfor skrive gruppen multiplikativt, og betegne den som C_n, hvor n er ordenen for endelige grupper, og som C for den uendelige sykliske gruppen.^[8] For eksempel, g²g⁴ = g¹ i C₅, mens 2 + 4 = 1 i Z/5Z.

Alle kvotientgrupper av Z er endelige, bortsett fra det trivielle unntaket Z/{0} = Z/0Z. For enhver positiv divisor d av n, så har kvotientgruppen Z/nZ nøyaktig en undergruppe av orden d, den som er genert av restklassen til n/d. Det er ingen andre undergrupper. Ved bruk av kvotientgruppe-formalismen, så er Z/nZ standardnotasjon for den additive sykliske gruppen med n elementer. I ring-terminologi, så er undergruppen nZ et ideal (n), så kvotienten kan også skrives som Z/(n) eller Z/n uten misbruk av notasjon. Disse alternativene er ikke i mkonflikt med notasjonen for de p-adiske heltallene. Den siste formen er svært vanlig i uformlle beregninger, den har i tillegg den fordelen at den leses på samme måten som den gruppen eller ringen den beskriver, på norsk, "Zet mod en".

Referanser

^ ^a ^b ^c «Cyclic group», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cyclic_group
^ Lajoie, Caroline; Mura, Roberta (November 2000), «What's in a name? A learning difficulty in connection with cyclic groups», For the Learning of Mathematics 20 (3): 29–33, JSTOR 40248334 .
^ Motwani, Rajeev; Raghavan, Prabhakar (1995), Randomized Algorithms, Cambridge University Press, Theorem 14.14, p. 401, ISBN 9780521474658, http://books.google.com/books?id=QKVY4mDivBEC&pg=PA401 .
^ Rotman, Joseph J. (1998), Galois Theory, Universitext, Springer, Theorem 62, p. 65, ISBN 9780387985411, http://books.google.com/books?id=M32GNlFkmHgC&pg=PA65 .
^ Stewart, Ian; Golubitsky, Martin (2010), Fearful Symmetry: Is God a Geometer?, Courier Dover Publications, ss. 47–48, ISBN 9780486477589, http://books.google.com/books?id=7x_MF83tTKQC&pg=PA47 .
^ Aluffi, Paolo (2009), «6.4 Example: Subgroups of Cyclic Groups», Algebra, Chapter 0, Graduate Studies in Mathematics, 104, American Mathematical Society, ss. 82–84, ISBN 9780821847817, http://books.google.com/books?id=deWkZWYbyHQC&pg=PA82 .
^ Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the monster: the bridge connecting algebra, modular forms and physics, Cambridge monographs on mathematical physics, Cambridge University Press, s. 18, ISBN 978-0-521-83531-2, http://books.google.com/books?id=ehrUt21SnsoC&pg=PA18
^ The infinite cyclic group written multiplicatively may be written C (most common), C_∞ (the subscript being interpreted as the order of the group), or even C₀ (to fit the statement C_n ≅ Z/nZ, n ≥ 0, as given here).

Eksterne lenker

Milne, Group theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html
An introduction to cyclic groups

[eom-1] «Cyclic group», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cyclic_group

[2] Lajoie, Caroline; Mura, Roberta (November 2000), «What's in a name? A learning difficulty in connection with cyclic groups», For the Learning of Mathematics 20 (3): 29–33, JSTOR 40248334 .

[3] Motwani, Rajeev; Raghavan, Prabhakar (1995), Randomized Algorithms, Cambridge University Press, Theorem 14.14, p. 401, ISBN 9780521474658, http://books.google.com/books?id=QKVY4mDivBEC&pg=PA401 .

[4] Rotman, Joseph J. (1998), Galois Theory, Universitext, Springer, Theorem 62, p. 65, ISBN 9780387985411, http://books.google.com/books?id=M32GNlFkmHgC&pg=PA65 .

[5] Stewart, Ian; Golubitsky, Martin (2010), Fearful Symmetry: Is God a Geometer?, Courier Dover Publications, ss. 47–48, ISBN 9780486477589, http://books.google.com/books?id=7x_MF83tTKQC&pg=PA47 .

[6] Aluffi, Paolo (2009), «6.4 Example: Subgroups of Cyclic Groups», Algebra, Chapter 0, Graduate Studies in Mathematics, 104, American Mathematical Society, ss. 82–84, ISBN 9780821847817, http://books.google.com/books?id=deWkZWYbyHQC&pg=PA82 .

[7] Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the monster: the bridge connecting algebra, modular forms and physics, Cambridge monographs on mathematical physics, Cambridge University Press, s. 18, ISBN 978-0-521-83531-2, http://books.google.com/books?id=ehrUt21SnsoC&pg=PA18

[8] The infinite cyclic group written multiplicatively may be written C (most common), C_∞ (the subscript being interpreted as the order of the group), or even C₀ (to fit the statement C_n ≅ Z/nZ, n ≥ 0, as given here).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]