Store talls lov

I statistikk sier store talls lov at gjennomsnittet av tilfeldige utvalg fra en populasjon sannsynligvis ligger i nærheten av gjennomsnittet av hele populasjonen.

I sannsynlighetsteori sier store talls lov at gjennomsnittet av en følge av stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling konvergerer mot deres felles forventningsverdi, når antall variabler går mot uendelig.

Den svake loven

Store talls svake lov sier at hvis X₁, X₂, X₃, ... er en uendelig følge av uavhengige stokastiske variabler med samme forventningsverdi μ, så vil gjennomsnittet av de n første variablene

$\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n$

konvergere mot μ når n går mot uendelig. Mer presist, for ethvert positivt tall ε er

$\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\epsilon\right)=1.$

For å bevise dette, brukes Tsjebysjevs ulikhet. La

$\operatorname{var}(\overline{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}.$

Ved Tsjebysjevs ulikhet, får vi

$\operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right| \geq \epsilon) \leq \frac{\operatorname{var}(\overline{X}_n)}{\epsilon^2}.$

Det følger at

$\operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right| \leq \epsilon) = 1 - \operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right| > \epsilon) \geq 1 - \operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right| \geq \epsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\epsilon^2 n}.$

Når n går mot uendelig, går dette uttrykket mot 1.

Den sterke loven

Store talls sterke lov sier at hvis X₁, X₂, X₃, ... er en uendelig følge uavhengige stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling, med forventningsverdi μ < ∞ og endelig varians, så er

$\operatorname{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu\right)=1.$