Store talls lov

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

I statistikk sier store talls lov at gjennomsnittet av tilfeldige utvalg fra en populasjon sannsynligvis ligger i nærheten av gjennomsnittet av hele populasjonen.

I sannsynlighetsteori sier store talls lov at gjennomsnittet av en følge av stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling konvergerer mot deres felles forventningsverdi, når antall variabler går mot uendelig.

Den svake loven[rediger | rediger kilde]

Store talls svake lov sier at hvis X1, X2, X3, ... er en uendelig følge av uavhengige stokastiske variabler med samme forventningsverdi μ, så vil gjennomsnittet av de n første variablene

\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n

konvergere mot μ når n går mot uendelig. Mer presist, for ethvert positivt tall ε er

\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\epsilon\right)=1.

For å bevise dette, brukes Tsjebysjevs ulikhet. La


\operatorname{var}(\overline{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}.

Ved Tsjebysjevs ulikhet, får vi


\operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right|  \geq \epsilon) \leq \frac{\operatorname{var}(\overline{X}_n)}{\epsilon^2}.

Det følger at


\operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right|  \leq \epsilon) = 1 - \operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right|  > \epsilon) \geq 1 - \operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right|  \geq \epsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\epsilon^2 n}.

Når n går mot uendelig, går dette uttrykket mot 1.

Den sterke loven[rediger | rediger kilde]

Store talls sterke lov sier at hvis X1, X2, X3, ... er en uendelig følge uavhengige stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling, med forventningsverdi μ < ∞ og endelig varians, så er

\operatorname{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu\right)=1.