Store talls lov

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Gå til: navigasjon, søk

I statistikk sier store talls lov at gjennomsnittet av tilfeldige utvalg fra en populasjon sannsynligvis ligger i nærheten av gjennomsnittet av hele populasjonen.

I sannsynlighetsteori sier store talls lov at gjennomsnittet av en rekke av stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling konvergerer mot deres felles forventningsverdi, når antall variabler går mot uendelig.

[rediger] Den svake loven

Store talls svake lov sier at hvis X1, X2, X3, ... er en uendelig rekke av stokastiske variabler, med samme forventningsverdi μ og er uavhengige av hverandre, så vil gjennomsnittet av de n første variablene

\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n

konvergere mot μ når n går mot uendelig. Mer presist, for ethvert positivt tall ε er

\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\epsilon\right)=1.

For å bevise dette, brukes Tsjebysjevs ulikhet. La

\operatorname{var}(\overline{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}.

Ved Tsjebysjevs ulikhet, får vi

\operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right| \geq \epsilon) \leq \frac{\operatorname{var}(\overline{X}_n)}{\epsilon^2}.

Det følger at

\operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right| \leq \epsilon) = 1 - \operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right| > \epsilon) \geq 1 - \operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-E \overline{X}_n \right| \geq \epsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\epsilon^2 n}.

Når n går mot uendelig, går dette uttrykket mot 1.

[rediger] Den sterke loven

Store talls sterke lov sier at hvis X1, X2, X3, ... er en uendelig rekke uavhengige stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling, med forventningsverdi μ < ∞ og endelig varians, så er

\operatorname{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu\right)=1.
Hentet fra «http://no.wikipedia.org/wiki/Store_talls_lov»
Personlige verktøy
Opprett en bok