Analytisk funksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En analytisk funksjon er en matematisk funksjon, som i et hvert punkt i sitt domene kan beskrives lokalt som en konvergerende potensrekke. Funksjonen f(x) er analytisk i p dersom den kan uttrykkes som en konvergerende potensrekke i et intervall som omgir x = p. Dersom f(x) er analytisk i et hvert punkt i sitt domene, kaller vi den bare en analytisk funksjon eller en Cω-glatt funksjon. Det er hensiktsmessig å dele inn i reelle analytiske funksjoner og komplekse analytiske funksjoner. Innen kompleks analyse er holomorf og analytisk ekvivalente egenskaper. En hel funksjon er en holomorf funksjon som er definert for hele det komplekse plan.

Egenskaper til analytiske funksjoner[rediger | rediger kilde]

  • Enhver sum, produkt og funksjonssammensetning av analytiske funksjoner er analytiske.
  • Den inverse av en analytisk funksjon som aldri har verdien null er analytisk. Det er også den inverse av en speilvendt analytisk funksjon hvis deriverte aldri har verdien null.
  • En analytisk funksjon er alltid glatt.
  • Et polynom kan ikke har fler null-løsninger enn polynomgraden. Et liknende men svakere utsagn gjelder for analytiske funksjoner. Hvis settet av nuller til en analytisk funksjon f har et akkumuleringspunkt innenfor dens område, da må f også være null innenfor akkumuleringspunktets tilknyttede område. Mer formelt kan dette fremstilles i det følgende: Hvis rn er en rekke, slik at f(rn) = 0 for alle n og denne rekken konvergerer til et punkt r i domenet D, så er f identisk med null i den tilknyttede komponenten av D som inneholder r.