Impedans

Impedans, også kalt vekselstrømsmotstand, er forholdet mellom vekselspenning over og vekselstrøm gjennom en topol ved en gitt frekvens. Impedansens størrelse er (matematisk) kompleks.

Begrepet impedans er en utvidelse av begrepet resistans, og trengs når betraktningen utvides til å inkludere reaktanser i tillegg til resistanser, det vil si når likestrømsbetraktninger utvides til vekselstrømsbetraktninger. Reaktanser, og derfor også impedanser, har frekvensavhengig motstand for strømledning.

Impedansen erstatter resistansen i formelen R = U/I, og U og I er nå vekselspenning og -strøm. Impedansen får bokstaven Z som symbol i stedet for R, og måles også i Ohm, eller $\Omega$.

Z = u/i, der små bokstaver gjelder vekselstørrelser.

• En impedans er satt sammen som en seriekopling av to komponenter, en reaktans og en resistans.
• En reaktans kan være enten en kapasitans eller en induktans, som uttrykk for virkningene av henholdsvis en kondensator eller en spole.

For hver frekvens finnes alltid én reaktansverdi og én resistansverdi for topolen, og vektorsummen deres utgjør impedansen ved denne frekvensen. Dette gjelder for alle tenkelige (linjære) nettverk mellom polene, uten begrensning av antall resistanser og reaktanser som den består av. Reaktansens fortegn bestemmer typen; en negativ reaktans er kapasitiv og en positiv reaktans er induktiv. Ved frekvensendring er det særlig reaktansen X som endrer sin verdi, verdien av R er i forhold langt mer konstant.

Vektorfremstilling av resistans R, reaktans X (her: induktans) og resulterende impedans Z. Her ses impedansens verdi som lengden |Z|, samt dens fasevinkel θ. Aksene kalles den reelle (Re, horisontal) og den imaginære aksen (Im, vertikal).

Impedansen, seriekoplingen av resistansen og reaktansen blir:

$\mathbb {Z} =R+jX$

hvor

• Z er impedansen
• X er reaktansen
• R er resistansen

alle målt i Ohm [$\Omega$].

• j er den imaginære enheten fra komplekse tall i matematikken.

Siden resistanser og reaktanser er ortogonale til hverandre i tid (derfor "j", se senere i artikkelen), kan ikke Ohmverdiene deres bare adderes. Impedansen er vektorsummen.

Resistansen står for energitapet i topolen. De reaktive komponentene, reaktansene, opptar og avgir elektrisk energi i løpet av signalets periode, men de avgir aldri energi i form av varme.

Reaktanser for komponentene kapasitet og induktivitet

For en gitt, fast verdi av komponenten kondensator eller spole blir den tilhørende reaktansen frekvensavhengig. Sammenhengene er som følger, hvor X er størrelsen av reaktansen.

$X_{C}={1 \over {j\cdot 2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}={1 \over {j\cdot \omega \cdot C}}$ for en kondensator,

som helst uttrykkes som $X_{C}={-j \over {2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}={-j \over {\omega \cdot C}}$ fordi nevneren da er reell.

Tallverdien blir $|X_{C}|={1 \over {2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}={1 \over {\omega \cdot C}}$

og for en spole:

$X_{L}={j\cdot 2\cdot \pi \cdot f\cdot L}={j\cdot \omega \cdot L}$

Tallverdien blir $|X_{L}|={2\cdot \pi \cdot f\cdot L}={\omega \cdot L}$

hvor

• C er kapasitansen i Farad
• L er induktiviteten i Henry
• f er frekvensen i Hz eller [perioder/sek]
• $\omega$ er vinkelfrekvensen i [radianer/sek]
• 1 radian = 360 grader/$\ 2\pi$
• j plasserer X på den imaginære aksen, og her ses hvorfor kapasitansen X_C alltid er negativ.

Tallverdien for reaktansen til en spole er proporsjonal med frekvensen, mens tallverdien for kondensatorens reaktans er omvendt proporsjonal med frekvensen.

Komponenter er ikke perfekte; kondensatorer og (særlig) spoler er i praksis beheftet med noe energitap, som gjerne er frekvensavhengig. Det føyes en serieresistans til komponentens symbol for å beskrive dette.

Inverse verdier, ledningsevner

For parallellkopling blir matematikken mye enklere ved bruk av de inverse verdiene av resistansen og reaktansen i formlene. De inverse størrelsene kalles

Suseptans, B = 1/X som den inverse av reaktans X. Måles i Siemens [S] eller Mho

Admittans, Y =1/Z som den inverse av impedans Z. Måles i Siemens [S] eller Mho

En positiv suseptans er kapasitiv og en negativ suseptans er induktiv (!).

Admittansen, parallellkoplingen av konduktansen G = 1/R og suseptansen B=1/X blir Y=G+jB

hvor

Y er admittansen

B er suseptansen

G er konduktansen

alle målt i Siemens (S), eller Mho.

Se ellers motstand for videre formler.

Topoler med resistanser og reaktanser

Det er ved frekvenser som frembringer de samme absoluttverdier for reaktans og resistans (som ved lav- og høypassfiltre, se pol), eller like absoluttverdier for induktivitet og kapasitet (som ved resonans), at grense- eller resonansfrekvenser for den tiltenkte funksjonen finnes. I det videre gjelder altså $\ |X_{C}|=R$ (pol) eller$\ |X_{L}|=R$ (pol) eller$\ |X_{C}|=|X_{L}|$(resonans, som har en dobbelt pol). Lave og høye frekvenser i forhold til den frekvensen som oppfyller likheten kommenteres også nedenfor.

R og C i serie

Lav f: Z går mot X_C, går mot uendelig

Grense: $\ |Z|={\sqrt {2}}\cdot R={\sqrt {2}}\cdot |X_{C}|$

Høy f: Z går mot R

R og C i parallell

Lav f: Z går mot R

Grense: $\ |Z|={R \over {\sqrt {2}}}={|X_{C}| \over {\sqrt {2}}}$

Høy f: Z går mot X_C, som går mot null

R og L i serie

Lav f: Z går mot R

Grense: $\ |Z|={\sqrt {2}}\cdot R={\sqrt {2}}\cdot |X_{C}|$

Høy f: Z går mot X_L, som går mot uendelig

R og L i parallell

Lav f: Z går mot X_L, går mot null

Grense: $\ |Z|={R \over {\sqrt {2}}}={|X_{C}| \over {\sqrt {2}}}$

Høy f: Z går mot R

C og L i serie

Lav f: C dominerer, |Z| høy, går mot uendelig

Z går mot X_L+X_C, som går mot null siden Xc er negativ (serieresonans)

Høy f: L dominerer, |Z| høy, går mot uendelig

C og L i parallell

Lav f: L dominerer, |Z| lav, går mot null

Z går mot X_L*X_C/(X_L+X_C) som går mot uendelig (Xc er negativ, nevneren går mot null, parallellresonans)

Høy f: C dominerer, |Z| lav, går mot null

Ved resonans er begge reaktansene like store, altså er

$\ {1 \over \omega C}={\omega L}$ og fra dette finner vi

$\ \omega ^{2}={1 \over {LC}}$ og

${2\pi f}={\omega }={1 \over {\sqrt {LC}}}$ og

resonansfrekvensen blir$\ f={1 \over {2\pi {\sqrt {LC}}}}$

Analogier

Det er ofte lettere å få begrep om kompliserte forhold hvis vi bruker analogier til mer dagligdagse ting som vi alt har en brukbar forestilling om. Her assosieres den elektriske spenningen med kraft og strømmen med hastighet. Analogien her er god fordi matematisk behandling av begge systemene frembringer de samme løsningene på differensialligningene. Energibetraktninger er ikke gyldige i denne anlogien.

• Kapasitans kan assosieres med en spiralfjær. Kondensatoren lades = fjæra trekkes ut (positiv spenning) eller stuves sammen (negativ spenning). En høy kapasitet tilsvarer en slapp fjær. Når fjæra går tilbake gis energien tilbake; bevegelsen frem og tilbake koster ikke energi.
• Induktans kan betraktes som en masse, eksempelvis målt i kg. Massen tilføres energi ved flytting høyere opp i rommet. En høy induktivitet tilsvarer en stor masse. Det er ikke energiforbruk ved å flytte massen opp og så ned igjen; når massen senkes gis energien tilbake.
• Resistans tilsvarer friksjon. Det er bare ved friksjon at omgivelsene tilføres varme, noe som koster energi.
• Resonansfrekvensen ved induktans og kapasitans tilsvarer resonansfrekvensen som ses ved at massen henges i fjæra (som på den andre siden er fast til en referanse, eksempelvis et tak eller en bjelke) og så eksitere massen med en dult i retning langs fjæra. Det er ved svingningene som oppstår at kraft og hastighet skifter periodisk på, ved resonansfrekvensen. Frekvensen øker for mindre masser og stivere fjærer, altså for mindre induktiviteter og mindre kapasiteter.

Matematisk grunnlag

• Kapasitansen koplet til en spenningskilde fører størst strøm når spenningen stiger hurtigst. Uttrykt matematisk: Strømmen er proporsjonal til den deriverte av spenningen, du/dt.
• Induktansen koplet til en strømkilde oppviser størst spenning når strømmen økes hurtigst. Tilsvarende er spenningen proporsjonal til den deriverte av strømmen, dI/dt.

Med formler:

${I}={C\cdot {dU \over dt}}$ for kapasitet

${U}={L\cdot {dI \over dt}}$ for induktivitet

Regneeksempel: Vi bruker en motstand på 150 Ohm koplet i serie med en kondensator på 1.2 µF og en spole på 3.3 mH. Impedansen blir generelt:

$\ {Z=}150-{j \over {\omega C}}+{j\omega L}$

• Ved 2kHz er $\ \omega$ ca. 12566 rad/sek og

• $\ Z=150-j66.3+j41.5[\Omega ]$

  $\ Z=150-j24.8[\Omega ]$

• Impedansen domineres av resistansen og er ellers kapasitiv

• $\ {\phi }={{\tan ^{-1}}\left({X \over R}\right)}={\tan ^{-1}-0.1653}=-9.39\mathrm {\ grader}$

• Impedansens størrelse blir:

  $\ |Z|={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}={\sqrt {22500+615}}=\mathrm {\ ca.\ } 152[\Omega ]$

• Ved 20kHz er $\ \omega$ ca. 125663 rad/sek og

• $\ Z=150-j6.63+j415[\Omega ]$

  $\ Z=150+j408[\Omega ]$

• Impedansen domineres av induktiviteten og er derfor induktiv

• $\ {\phi }={{\tan ^{-1}}\left({X \over R}\right)}={\tan ^{-1}2.72}=69.8\mathrm {\ grader}$

• Impedansens størrelse blir:

  $\ |Z|={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}={\sqrt {22500+166464}}=\mathrm {\ ca.\ } 435[\Omega ]$

Beskrivelse med kompleks matematikk

Impedanser kan beskrives ved hjelp av vektorer, men det er nokså tungvint.

Impedansbeskrivelser og kompleks matematikk har det til felles at begge bruker to størrelser som er ortogonale til hverandre, altså alltid står 90 grader på hverandre. Av den grunn passer denne grenen av matematikken ypperlig som verktøy for beskrivelse av og operasjoner med, impedanser. Begreper som imaginær og reell kommer fra matematikken som vi benytter, men det er ingenting som er imaginært med fysikken som vi betrakter.

Ved å definere reaktansen som imaginær, kan hele regelverket fra den komplekse matematikken brukes for å beskrive eller behandle kompliserte impedanser.

En impedans beskrives som

$\mathbb {Z} =R+jX$

Impedansens tallverdi blir da:

$|Z|={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}$

Fasevinkelen mellom R og X er

$\phi ={\tan ^{-1}\left({X \over R}\right)}$

Beskrivelse av Z kan også gjøres med formelen

$\ Z=|Z|(\cos \phi +j\sin \phi )$

Beregning for parallellkopling av reaktans og resistans

Først finnes admittansen ved addisjon:

$\ Y_{p}={1 \over R}+{1 \over {jX}}={{jX} \over {jXR}}+{R \over {jXR}}={{R+jX} \over {jXR}}$

Impedansen er den inverse av admittansen:

$Z_{p}={{jXR} \over {R+jX}}$

Nå ganges både teller og nevner med den kompleks konjugerte$\ (R-jX)$.

$Z_{p}={{jXR\cdot (R-jX)} \over {(R+jX)\cdot (R-jX)}}={{jXR^{2}-j^{2}X^{2}R} \over {R^{2}-j^{2}X^{2}}}={{jXR^{2}+X^{2}R} \over {R^{2}+X^{2}}}$

Grunnen til denne multiplikasjonen ses over; nevneren er blitt reell.

$Z_{p}={{(X+jR)\cdot RX} \over {R^{2}+X^{2}}}$