Hopp til innhold

Vindskjev linje

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Rektangulært parallelepiped. Linjen gjennom linjestykket AD og linjen gjennom linjestykket B1B er vindskjeve fordi de ikke er i samme plan.

I tredimensjonal geometri er to linjer vindskjeve når de verken krysser hverandre eller er parallelle. Et enkelt eksempel på vindskjeve linjer er paret av linjer gjennom motsatte kanter av et regulært tetraeder. To linjer som begge ligger i samme plan må enten krysse hverandre eller være parallelle, så vindskjeve linjer kan eksistere bare i tre eller flere dimensjoner. To linjer er vindskjeve hvis og bare hvis de ikke ligger i samme plan.

Teste for vindskjevhet

[rediger | rediger kilde]

Hvis hver av et par skrå linjer er definert av to punkter, og disse fire punktene ikke ligger i samme plan, så vil de være hjørner i et tetraeder av endelig volum. Derfor kan vi teste om to par punkter definerer vindskjeve linjer ved å bruke formelen for volumet av et tetraeder gitt ved sine fire hjørner. Vi lar de fire hjørnenes koordinater være gitt ved 3-vektorene a, b, c, og d. Da kan vi sjekke om linjen gjennom a og b er vindskjev til linjen gjennom c og d ved å se om volumet til tetraederet definert av disse fire punktene er forskjellig fra null:

Nærmeste punkt

[rediger | rediger kilde]

Vi uttrykker de to linjene som vektorer:

Vektor kryssproduktet av og er vinkelrett på begge linjene.

Planet spent ut av Linje 2 og inneholder punktet og er vinkelrett på .

Skjæringspunktet mellom Linje 1 og dette planet, som også er punktet på Linje 1 som er nærmest Linje 2, er gitt ved

På samme måte er punktet på Linje 2 nærmest Linje 1 gitt ved

hvor .

De nærmeste punktene og danner det korteste linjestykket som forbinder Linje 1 med Linje 2:

Dersom vi bruker kryssproduktet mellom og til å definere en enhetsvektor for linjen som forbinder de vindskjeve linjene:

Så kan avstanden mellom linjene også uttrykkes ved

Hvis er null, så er linjene er parallelle og denne metoden kan ikke brukes.

Litteratur

[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker

[rediger | rediger kilde]